f(x) = x^3 - 4x^2 - 12x + 1
fonksiyonu veriliyor.
f(x) in birinci türevi f'(x) olmak üzere,
f'(x) < x
eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam sayı değeri vardır?
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
Polinom Fonksiyonun Türevi ve İkinci Dereceden Eşitsizlik Çözümü
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir polinom fonksiyonun türevi kuvvet kuralı (\frac{d}{dx}[x^n] = n \cdot x^{n-1}) ile alınır. Elde edilen ikinci dereceden eşitsizlik, kökler bulunarak işaret tablosu yardımıyla çözülür.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Fonksiyonun Birinci Türevini Alma
Verilen f(x) = x^3 - 4x^2 - 12x + 1 fonksiyonunun türevi kural gereği her bir terimin ayrı ayrı türevi alınarak hesaplanır:
f'(x) = 3x^2 - 8x - 12
Adım 2 — Eşitsizliği Düzenleme
f'(x) < x eşitsizliğinde ifadeyi yerine yazıp tüm terimleri sol tarafa toplayalım:
3x^2 - 8x - 12 < x \implies 3x^2 - 9x - 12 < 0
Her iki tarafı pozitif bir sayı olan 3’e bölerek sadeleştirelim:
x^2 - 3x - 4 < 0
Adım 3 — Kökleri Bulma ve Eşitsizlik Aralığını Belirleme
İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım:
(x - 4)(x + 1) < 0
Eşitsizliğin kökleri x_1 = -1 ve x_2 = 4’tür. Başkatsayı pozitif olduğu için ifade kökler arasında negatif değer alır:
-1 < x < 4
Adım 4 — Sağlayan Tam Sayı Değerlerini Sayma
(-1, 4) açık aralığındaki tam sayılar:
x \in \{0, 1, 2, 3\}
Bu koşulu sağlayan 4 farklı tam sayı değeri vardır.
CEVAP: C) 4 (x \in \{0, 1, 2, 3\})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Eşitsizlik kesin küçüktür (<) şeklinde verildiğinden sınır değerleri olan -1 ve 4 çözüme dahil edilmez. 0 sayısının da bir tam sayı olduğunu unutmamak çeldiricilere düşmeyi engeller.