$f(x) = \frac{x^3}{3} + 3x^2 + 5x - 6$ Fonksiyonunun Artan ve Azalanlık Analizi

YKS TYT
1

image
image622×536 52.5 KB

2

f(x) = \frac{x^3}{3} + 3x^2 + 5x - 6 Fonksiyonunun Artan ve Azalanlık Analizi

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜL VE KURAL:]
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için birinci türevinin (f'(x)) işareti incelenir:

  • f'(x) > 0 ise fonksiyon o aralıkta artandır.
  • f'(x) < 0 ise fonksiyon o aralıkta azalandır.

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — Fonksiyonun Türevini Alalım
Verilen f(x) = \frac{x^3}{3} + 3x^2 + 5x - 6 fonksiyonunun türevini hesaplayalım:

f'(x) = 3 \cdot \frac{x^2}{3} + 2 \cdot 3x + 5
f'(x) = x^2 + 6x + 5

Adım 2 — Türevin Köklerini Bulalım (Kritik Noktalar)
Türevi sıfıra eşitleyerek işaret tablosu için kökleri bulalım:

x^2 + 6x + 5 = 0
(x+5)(x+1) = 0

Buradan kökler: x_1 = -5 ve x_2 = -1 olarak bulunur.

Adım 3 — İşaret Tablosunu Oluşturalım
Türevin (x^2 + 6x + 5) işaretini inceleyelim (Baş katsayı pozitif olduğu için sağdan + ile başlar):

Aralık (-\infty, -5] [-5, -1] [-1, \infty)
f'(x) İşareti + - +
f(x) Durumu Artan Azalan Artan

Adım 4 — Öncülleri Değerlendirelim

  • I. (-\infty, -5] aralığında artandır: Tabloya göre bu ifade doğrudur.
  • II. [-5, -1] aralığında azalandır: Tabloya göre bu ifade doğrudur.
  • III. f(5) > f(1) dir: x=1 ve x=5 noktalarının her ikisi de [-1, \infty) aralığındadır. Bu aralıkta fonksiyon artan olduğu için, büyük olan x değeri daha büyük bir y değeri verir. 5 > 1 olduğu için f(5) > f(1) ifadesi doğrudur.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] I, II ve III (Hepsi doğrudur)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Türev ve Artanlık

  • [Tanım:] Bir fonksiyonun değişim hızını temsil eder.
  • [Bu problemde:] Türevin pozitif olduğu bölgelerde fonksiyonun yukarı yönlü hareket ettiğini (arttığını) belirlemek için kullanıldı.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Türev Alırken Hata Yapmak

  • [Yanlış:] \frac{x^3}{3} ifadesinin türevini 3x^2 olarak almak.
  • [Doğru:] Paydadaki sabit sayıya dokunmadan üstü başa indirip bir azaltmak: \frac{3x^2}{3} = x^2.
  • [Neden Yanlış:] Katsayılar ve paydadaki sabitler türev işleminde yok edilmez, sadece değişkenin üssü işleme girer.

Bu fonksiyonun yerel maksimum ve yerel minimum noktalarının koordinatlarını da hesaplamamı ister misin?