f(x) = \frac{x}{x+2}, & x \geq 0 \\ \frac{1}{x^2-1}, & x < 0
fonksiyonun seçeneklerdeki noktalardan hangisinde tanımlıdır?
Soru Fotoğrafı:
Fonksiyonun Tanımlı Olduğu Noktaların Bulunması
Kullanılan Kural:
Bir fonksiyonun tanımlı olması için paydanın sıfır olmaması gerekir. Parçalı fonksiyonlarda her bir parçanın kendi tanımlı olduğu aralıkta paydasının sıfır olmaması gerekir.
Çözüm Adımları:
Adım 1 — x ≥ 0 aralığında fonksiyonun tanımı:
Fonksiyon formu:
f(x) = \frac{x}{x+2}
Burada payda x+2 ifadesidir. Tanımlı olması için:
x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2
Fakat bu kısım sadece x \geq 0 için geçerlidir. -2 sayısı bu aralıkta olmadığı için sorun oluşturmaz.
Adım 2 — x < 0 aralığında fonksiyonun tanımı:
Fonksiyon formu:
f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}
Payda x^2 - 1 ifadesi. Sıfır olmamalı:
x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow (x - 1)(x + 1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1, \quad x \neq -1
Burada x < 0 şartı olduğu için x = 1 gözardı edilir. Ancak x = -1 negatif ve bu aralıkta yer alır; dolayısıyla x = -1 noktasında fonksiyon tanımsızdır.
Adım 3 — Seçeneklerin değerlendirilmesi:
| Seçenek | x değeri | Aralık durumu | Payda kontrolü | Tanımlı mı? |
|---|---|---|---|---|
| A) -2 | -2 | x < 0 | (-2)^2 -1 = 4-1=3 \neq 0 | Tanımlı |
| B) -1 | -1 | x < 0 | (-1)^2 -1 = 1-1=0 | Tanımsız |
| C) 0 | 0 | x \geq 0 | 0 + 2 = 2 \neq 0 | Tanımlı |
| D) 1 | 1 | x \geq 0 | 1 + 2 = 3 \neq 0 | Tanımlı |
| E) 2 | 2 | x \geq 0 | 2 + 2 = 4 \neq 0 | Tanımlı |
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: B) -1 noktası fonksiyonun tanımsız olduğu noktadır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
Bu fonksiyonun tanımsız olduğu nokta, seçeneklerdeki sayılardan yalnızca -1’dir.
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Parçaları ayrı ayrı inceleyelim
Fonksiyon şu şekilde verilmiş:
- f(x)=\dfrac{x}{x+2}, x \ge 0 iken
- f(x)=\dfrac{1}{x^2-1}, x<0 iken
Adım 2 — Tanımsız olma şartlarını bulalım
Bir kesirli ifadede payda sıfır olursa fonksiyon tanımsız olur.
-
\dfrac{x}{x+2} için payda: x+2=0 \Rightarrow x=-2
- Ama bu parça sadece x \ge 0 için geçerli.
- -2, bu aralığa girmediği için burada sorun yok.
-
\dfrac{1}{x^2-1} için payda: x^2-1=0
- x^2=1 \Rightarrow x=\pm1
- Ama bu parça sadece x<0 için geçerli.
- Bu durumda yalnızca x=-1 bu parçaya girer ve fonksiyonu tanımsız yapar.
Adım 3 — Şıkları kontrol edelim
- A) -2 → x \ge 0 olmadığı için tanımsızlık oluşturmaz
- B) -1 → x<0 parçasında payda sıfır olur, tanımsız
- C) 0 → f(0)=\dfrac{0}{0+2}=0, tanımlı
- D) 1 → f(1)=\dfrac{1}{3}, tanımlı
- E) 2 → f(2)=\dfrac{2}{4}=\dfrac12, tanımlı
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: B) -1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
1. Tanımsızlık
- Tanım: Payda sıfır olursa ifade tanımsız olur.
- Bu problemde: x=-1 için x^2-1=0 olduğu için fonksiyon tanımsızdır.
2. Parçalı Fonksiyon
- Tanım: Farklı aralıklarda farklı kurallarla tanımlanan fonksiyondur.
- Bu problemde: x \ge 0 ve x<0 için ayrı kurallar kullanılmıştır.
Sık Yapılan Hatalar:
Tüm kökleri doğrudan alma
- Yanlış: x=\pm1 deyip ikisini de seçmek
- Doğru: Hangi parçanın hangi aralıkta geçerli olduğunu kontrol etmek
- Neden yanlış: x=1 bu parçada değil, çünkü x<0 şartını sağlamaz
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!