F(x) = ax³ + 3ax² + 1 Fonksiyonunun x Eksenine Paralel Teğetleri ve f(1) Değeri

YKS TYT
1
  1. a sifirdan farklı pozitif bir gerçel say olrnak ÜZere
    gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlt ve Oreienetx
    olan
    f(x) = ax® + 3ax^{2} + 1
    fonksiyonunun x eksenine paralel olan teğeteini
    arasındaki uzaklik 8 birimdir.
    Buna göre f(1) değeri kaçtır?
    A) 6
    B) 7
    C)8
    D) 9

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 60.9 KB

2

f(x) = ax³ + 3ax² + 1 Fonksiyonunun x Eksenine Paralel Teğetleri ve f(1) Değeri

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Bir fonksiyonun x eksenine paralel olan teğetleri, fonksiyonun türevinin sıfır olduğu yerel ekstremum (maksimum/minimum) noktalarındadır. Teğet eğimi m = f'(x) = 0 olmalıdır.
  • Fonksiyon: f(x) = ax^3 + 3ax^2 + 1
  • Türev kuralı: (x^n)' = n \cdot x^{n-1}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Fonksiyonun türevini alalım ve sıfıra eşitleyelim
x eksenine paralel teğetlerin geçtiği noktaları bulmak için f'(x) = 0 denklemini çözeriz:

f'(x) = 3ax^2 + 6ax
3ax(x + 2) = 0

Buradan türevi sıfır yapan x değerleri:
x_1 = 0 ve x_2 = -2 olarak bulunur.

Adım 2 — Teğetlerin y-koordinatlarını (yerel ekstremum değerlerini) hesaplayalım
Teğetler x eksenine paralel olduğu için denklemleri y = f(x_1) ve y = f(x_2) şeklindedir.

  • x_1 = 0 için: f(0) = a(0)^3 + 3a(0)^2 + 1 = 1
  • x_2 = -2 için: f(-2) = a(-2)^3 + 3a(-2)^2 + 1 = -8a + 12a + 1 = 4a + 1

Adım 3 — Teğetler arasındaki uzaklığı kullanarak ‘a’ değerini bulalım
Soruya göre bu iki paralel teğet arasındaki uzaklık 8 birimdir. a pozitif bir gerçel sayı olduğu için 4a + 1 > 1 olacaktır.

|(4a + 1) - 1| = 8
4a = 8
a = 2

Adım 4 — f(1) değerini hesaplayalım
a = 2 olduğunu bulduğumuza göre fonksiyonumuz:

f(x) = 2x^3 + 6x^2 + 1

Bizden istenen f(1) değeri:

f(1) = 2(1)^3 + 6(1)^2 + 1
f(1) = 2 + 6 + 1 = 9

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 9 (D seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Yerel Ekstremum Noktaları

  • Tanım: Bir fonksiyonun türevinin işaret değiştirdiği veya sıfır olduğu noktalardır.
  • Bu problemde: Türevi sıfıra eşitleyerek teğetin eğiminin 0 olduğu (yatay teğet) noktaları bulduk.

2. Paralel Doğrular Arasındaki Uzaklık

  • Tanım: Yatay doğrular arasındaki uzaklık, y değerlerinin farkının mutlak değeridir.
  • Bu problemde: y=1 ve y=4a+1 doğruları arasındaki 8 birimlik farkı kullandık.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Türev Alma Hatası

  • Yanlış: 3ax^2 + 3ax (Sabit sayının türevinin unutulması veya yanlış katsayı).
  • Doğru: 3ax^2 + 6ax
  • Neden Yanlış: Üst başa çarpım olarak geçer ve üst 1 azalır.

:cross_mark: Mutlak Değer Unutulması

  • Yanlış: Sadece 1 - (4a+1) = 8 diyerek negatif a bulmak.
  • Doğru: Uzaklık her zaman pozitiftir; a pozitif verildiği için büyükten küçüğü çıkarmalıyız.

Türevin geometrik yorumuyla ilgili benzer bir maksimum-minimum problemi daha çözmemi ister misin?