f(x) = ax + \frac{1}{x+b} fonksiyonunun x eksenine paralel teğetlerinin apsisleri toplamı 6 olduğuna göre, b kaçtır?
Türevin Geometrik Yorumu ve Yatay Teğet Denklemleri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir eğrinin x eksenine paralel olan (yatay) teğetlerinin eğimi sıfırdır (m = 0). Dolayısıyla teğet değme noktalarının apsisleri, fonksiyonun birinci türevini sıfır yapan denklemin (f'(x) = 0) kökleridir. İkinci dereceden Ax^2 + Bx + C = 0 denkleminde kökler toplamı -\frac{B}{A} formülü ile hesaplanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Fonksiyonun Türevinin Alınması
Verilen f(x) = ax + (x+b)^{-1} fonksiyonunun x’e göre türevini alıp eğimi sıfıra eşitleriz:
f'(x) = a - \frac{1}{(x+b)^2} = 0
Adım 2 — Denklemin Düzenlenmesi ve Kökler Toplamı
Elde edilen eşitlikte terimleri düzenleyerek x’e bağlı ikinci dereceden denklemi oluşturalım:
(x+b)^2 = \frac{1}{a} \implies x^2 + 2bx + b^2 - \frac{1}{a} = 0
Bu denklemin kökleri (x_1 ve x_2), teğetlerin değme noktalarının apsisleridir. Kökler toplamı bağıntısından:
x_1 + x_2 = -\frac{2b}{1} = -2b
Soruda teğetlerin apsisleri toplamının 6 olduğu verildiğine göre:
-2b = 6 \implies b = -3
CEVAP: -3 (b = -3)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: x eksenine paralel teğet sorularında (x+b)^2 = \frac{1}{a} ifadesinin karekökünü alıp kökleri ayrı ayrı bulmak yerine (x = -b \pm \frac{1}{\sqrt{a}}), simetri merkezinin -b olduğunu görüp x_1 + x_2 = 2 \cdot (-b) = -2b bağıntısını doğrudan kullanmak sınavda ciddi zaman kazandırır.