f(x) = a dot (x+2) dot (x-4)
a=2, -4
0=-1
f(x) = \frac{2}{5} dot (x+3) dot (x+1)^3
Şekildeki OABC karesinin B köşesi parabolün üzerinde olduğuna göre; karenin alanı kaç br^2 dir?
A) \frac{1}{16}
B) \frac{1}{25}
C) \frac{1}{4}
D) \frac{1}{9}
E) \frac{1}{49}
Parabol Üzerindeki Karenin Alanı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- x eksenini x_1 ve x_2 noktalarında kesen parabolün denklemi:f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)
- Bir kenar uzunluğu k olan karenin alanı:\text{Alan} = k^2
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Parabol Denkleminin Bulunması
Grafik incelendiğinde, parabolün x eksenini kestiği noktaların x_1 = -3 ve x_2 = -1 olduğu görülmektedir. Buna göre parabol denklemi:
f(x) = a(x + 3)(x + 1)
Parabol y eksenini \left(0, \frac{6}{5}\right) noktasında kestiğinden, bu nokta denklemde yerine yazılır:
f(0) = a(0 + 3)(0 + 1) = \frac{6}{5}
3a = \frac{6}{5} \implies a = \frac{2}{5}
Buradan parabol denklemi elde edilir:
f(x) = \frac{2}{5}(x + 3)(x + 1)
Adım 2 — Karenin B Köşesinin Koordinatlarının Belirlenmesi
OABC karesinin bir kenar uzunluğuna k diyelim (k > 0).
- O noktası orijindedir: (0,0)
- A noktası negatif x ekseni üzerindedir: (-k, 0)
- C noktası pozitif y ekseni üzerindedir: (0, k)
- Bu durumda B köşesi II. bölgede yer alır ve koordinatları:
B(-k, k)
Adım 3 — k Değerinin Hesaplanması
B(-k, k) noktası parabolün üzerinde olduğuna göre, parabol denklemini sağlar:
f(-k) = k
\frac{2}{5}(-k + 3)(-k + 1) = k
Eşitliğin her iki tarafı 5 ile çarpılır ve parantezler açılır:
2(k - 3)(k - 1) = 5k
2(k^2 - 4k + 3) = 5k
2k^2 - 8k + 6 = 5k
2k^2 - 13k + 6 = 0
İkinci dereceden denklem çarpanlarına ayrılır:
(2k - 1)(k - 6) = 0
Buradan iki olası kök bulunur:
k = \frac{1}{2} \quad \text{veya} \quad k = 6
Grafiğe göre B noktası x \in (-1, 0) aralığında yer aldığı için kenar uzunluğu k = 6 olamaz. Dolayısıyla:
k = \frac{1}{2}\text{ br}
Adım 4 — Karenin Alanının Hesaplanması
Karenin alanı kenar uzunluğunun karesine eşittir:
\text{Alan}(OABC) = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\text{ br}^2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) \frac{1}{4}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Noktanın Eğriyi Sağlaması: Bir geometrik şeklin köşesi bir fonksiyon eğrisi üzerindeyse, o köşenin koordinatları (x, y) fonksiyon denkleminde yerine yazıldığında eşitlik sağlanmak zorundadır.
- Bölge İşaretleri: Analitik düzlemin II. bölgesinde apsis negatif (-k), ordinat pozitiftir (k).
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Karenin kenar uzunluğu k alındığında B noktasının apsisini doğrudan k yazıp B(k, k) alarak I. bölgedeymiş gibi işlem yapmak.- Doğru Yaklaşım: Şeklin II. bölgede olduğunu fark edip B noktasının koordinatlarını B(-k, k) şeklinde tanımlamak.
Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir parabol-geometri pekiştirme sorusu çözmek ister misin?
Kaça gidiyorsun