I. f(x) = 7x + 3 fonksiyonunun [1, 4] aralığındaki or-
talama değişim hizı 7 dir.
II. f(2) = f(9) olmak üzere, f fonksiyonunun [2, 9] ara-
liğındaki ortalama değişim hizI7 dir.
Yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız Il
C) Yalnız ll
E) I ve lI
D) I ve l
Fonksiyonlarda Ortalama Değişim Hızı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir f(x) fonksiyonunun [a, b] kapalı aralığındaki ortalama değişim hızı formülü:
\Delta y / \Delta x = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — I. Öncülün İncelenmesi
f(x) = 7x + 3 fonksiyonunun [1, 4] aralığındaki uç değerlerini hesaplayalım:
f(4) = 7(4) + 3 = 31
f(1) = 7(1) + 3 = 10
Ortalama değişim hızı formülünde yerine yazalım:
\frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \frac{31 - 10}{3} = \frac{21}{3} = 7
(Not: Doğrusal fonksiyonların her aralıktaki ortalama değişim hızı daima doğrunun eğimine (m = 7) eşittir.)
Dolayısıyla I. ifade DOĞRUDUR.
Adım 2 — II. Öncülün İncelenmesi
f(2) = f(9) olarak verilmiştir. [2, 9] aralığındaki ortalama değişim hızı formülünü uygulayalım:
\frac{f(9) - f(2)}{9 - 2}
f(9) = f(2) olduğundan pay kısmı f(9) - f(2) = 0 olur:
\frac{0}{7} = 0
İfadede ortalama değişim hızının 7 olduğu söylenmiştir.
Dolayısıyla II. ifade YANLIŞTIR.
Adım 3 — III. Öncülün İncelenmesi
f(x) = x^3 + x^2 - 2 fonksiyonunun [0, 3] aralığındaki uç değerlerini bulalım:
f(3) = 3^3 + 3^2 - 2 = 27 + 9 - 2 = 34
f(0) = 0^3 + 0^2 - 2 = -2
Ortalama değişim hızını hesaplayalım:
\frac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \frac{34 - (-2)}{3} = \frac{34 + 2}{3} = \frac{36}{3} = 12
Dolayısıyla III. ifade DOĞRUDUR.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) I ve III
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Ortalama Değişim Hızı: Fonksiyon grafiği üzerindeki iki noktayı birleştiren kesen doğrusunun eğimidir.
- Doğrusal Fonksiyon: f(x) = mx + n biçimindeki fonksiyonlarda ortalama değişim hızı aralıktan bağımsız olarak daima m eğimine eşittir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: II. öncülde 9 - 2 = 7 payda farkını görüp ortalama değişim hızını 7 sanmak.- Doğru Yaklaşım: Paydaki fonksiyon değerleri farkını dikkate almak; f(9) - f(2) = 0 olduğundan kesrin sonucu 0 olur.
Benzer bir ortalama değişim hızı sorusuyla bu konuyu pekiştirmek ister misin?