f(x) = \frac{79x - 51}{71x - 79} ise
nderbrace{(f irc f irc dots irc f)}_{6 tane bileşke işlemi}(1) kaça eşittir?
Fonksiyonlarda Bileşke ve Ters Fonksiyon Özelliği
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d} biçimindeki rasyonel fonksiyonların tersi f^{-1}(x) = \dfrac{-dx + b}{cx - a} kuralı ile bulunur. a = -d olduğunda fonksiyonun kendisi tersine eşit olur (f(x) = f^{-1}(x)) ve bu durumda (f \circ f)(x) = I(x) = x birim fonksiyonunu verir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Fonksiyonun Tersini Bulma
Verilen f(x) = \dfrac{79x - 51}{71x - 79} fonksiyonunda paydaki x’in katsayısı a = 79, paydadaki sabit terim ise d = -79’dur. Kural gereği bu iki terim yer ve işaret değiştirir:
f^{-1}(x) = \frac{-(-79)x - 51}{71x - 79} = \frac{79x - 51}{71x - 79}
Buradan görüldüğü üzere f(x) = f^{-1}(x) eşitliği sağlanır.
Adım 2 — Bileşke İşleminin Döngüsel Davranışı
Fonksiyon kendisinin tersine eşit olduğundan, ardışık her iki bileşke birim fonksiyonu üretir:
(f \circ f)(x) = f(f^{-1}(x)) = x
Dolayısıyla:
- Çift sayıda f fonksiyonunun bileşkesi: x
- Tek sayıda f fonksiyonunun bileşkesi: f(x)
Adım 3 — “6 Tane Bileşke İşlemi” İfadesinin Değerlendirilmesi
-
Literatür / Soru Kökü Anlamı (6 işlem = 7 adet f): İki fonksiyon arasına bir “\circ” işlemi geldiğinden, 6 adet bileşke işlemi olması durumunda ifadede 7 adet f fonksiyonu bulunur (tek sayı).
(f \circ f \circ f \circ f \circ f \circ f \circ f)(1) = f(1)f(1) = \frac{79(1) - 51}{71(1) - 79} = \frac{28}{-8} = -\frac{7}{2} -
Yaygın Soru Bankası Kalıbı (6 adet f fonksiyonu kastedilmişse): Çift sayıda (6 tane) f fonksiyonu birbirini nötrler:
(f \circ f \circ f \circ f \circ f \circ f)(1) = 1
CEVAP: -\dfrac{7}{2} (6 adet bileşke işlemi / 7 adet f için) veya 1 (6 adet f fonksiyonu kastedildiyse)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: f(x) = \dfrac{ax+b}{cx-a} biçiminde köşegen katsayıları birbirinin zıt işaretlisi olan fonksiyonlarda (f \circ f)(x) = x olduğunu doğrudan kullanabilirsiniz. Sorularda “bileşke işlemi sayısı” (\circ sembolü) ile “fonksiyon sayısı” ayrımına dikkat edilmelidir.