f(x) = 2x^3 fonksiyonuna x = -1 apsisli noktasından çizilen teğet, eğriyi bir başka B(a, b) noktasında kesmektedir.
Buna göre, a + b toplamı kaçtır?
A) 4
B) 6
C) 10
D) 16
E) 18
Türevin Geometrik Yorumu ve Teğet Doğrusunun Eğriyi Kestiği Nokta
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevidir (m = f'(x_0)). Teğet doğrusu ile eğrinin ortak çözümünde, teğet olunan nokta çift katlı köktür ((x - x_0)^2).
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Teğet Değme Noktası ve Teğetin Eğimi
f(x) = 2x^3 fonksiyonunda teğetin apsisi x_0 = -1 olarak verilmiştir. Teğet noktasının ordinatını ve eğimini türev yardımıyla bulalım:
y_0 = f(-1) = 2(-1)^3 = -2 \implies (-1, -2)
f'(x) = 6x^2 \implies m = f'(-1) = 6(-1)^2 = 6
Adım 2 — Teğet Doğrusunun Denklemi
Eğimi m = 6 olan ve (-1, -2) noktasından geçen teğet doğrusunun denklemini kuralım:
y - (-2) = 6(x - (-1)) \implies y = 6x + 4
Adım 3 — Eğri ile Teğetin Kesişim Noktalarının Bulunması
Eğri ile teğet doğrusunun denklemini birbirine eşitleyerek ortak çözüm denklemini yazalım. x = -1 noktasında teğetlik olduğundan bu kök çift katlıdır:
2x^3 = 6x + 4 \implies 2x^3 - 6x - 4 = 0 \implies x^3 - 3x - 2 = 0
(x + 1)^2 \cdot (x - a) = 0 \implies (x^2 + 2x + 1)(x - a) = 0
x^2’li terimin katsayısı sıfır olacağından 2 - a = 0 \implies a = 2 bulunur.
Adım 4 — B(a, b) Noktasının Hesaplanması
a = 2 apsisli kesim noktasının ordinatı b değerini eğri denkleminde yerine yazarak hesaplayalım:
b = f(2) = 2 \cdot 2^3 = 16
a + b = 2 + 16 = 18
CEVAP: E) 18 (a + b = 18)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Üçüncü dereceden bir fonksiyona çizilen teğetin eğriyi kestiği diğer noktanın apsisini bulurken, kökler toplamı kuralından (x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}) yararlanabilirsiniz. Burada x_1 = x_2 = -1 (çift katlı kök) ve x^2’li terim bulunmadığından kökler toplamı 0’dır; dolayısıyla -1 + (-1) + a = 0 \implies a = 2 pratik olarak doğrudan elde edilir.