f(x - 2) fonksiyonunun maksimum noktası (p, r) ve -f(x) fonksiyonunun minumum noktası (k, m) olduğuna göre, p + r + k + m toplamı kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Fonksiyonlarda Öteleme ve Simetri ile Ekstremum Noktalarının Belirlenmesi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Yatay Öteleme: y = f(x - a) grafiği, y = f(x) grafiğinin x ekseni boyunca a birim sağa ötelenmesidir. Maksimum noktanın apsisi a kadar artarken ordinatı değişmez: (x, y) \rightarrow (x + a, y)
- x Eksenine Göre Yansıma: y = -f(x) grafiği, y = f(x) grafiğinin x eksenine göre simetriğidir. Maksimum nokta minimum noktaya dönüşür, apsis aynı kalır, ordinat işaret değiştirir: (x, y) \rightarrow (x, -y)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — f(x) Fonksiyonunun Ekstremum Değerini Belirleme
Grafiğe göre y = f(x) fonksiyonunun tepe noktası (maksimum noktası) (3, 4) olarak verilmiştir. Buradan:
f(3) = 4
Adım 2 — f(x - 2) Fonksiyonunun Maksimum Noktası (p, r)'yi Bulma
f(x - 2) ifadesinin en büyük değerini alabilmesi için parantez içinin 3 olması gerekir:
x - 2 = 3 \implies x = 5
En büyük değer değişmez:
y = f(5 - 2) = f(3) = 4
Buradan maksimum nokta (p, r) = (5, 4) bulunur.
p = 5, \quad r = 4
Adım 3 — -f(x) Fonksiyonunun Minimum Noktası (k, m)'yi Bulma
-f(x) fonksiyonunun minimum değer alması için, f(x) değerinin maksimum olması gerekir:
x = 3 \implies y = -f(3) = -4
Grafik x eksenine göre ters çevrildiği için tepe noktası çukur (minimum) noktaya dönüşür. Buradan minimum nokta (k, m) = (3, -4) elde edilir.
k = 3, \quad m = -4
Adım 4 — İstenen Toplamı Hesaplama
Bulunan değerleri toplayalım:
p + r + k + m = 5 + 4 + 3 + (-4)
p + r + k + m = 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Öteleme (Dönüşüm): Fonksiyonun içine yapılan müdahaleler (x - a) grafiği ters yönde yatayda ötelerken, fonksiyonun dışına yapılan müdahaleler düşey eksende etki eder.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: f(x - 2) dendiğinde grafiği 2 birim sola öteleyip apsisi 3 - 2 = 1 almak.- Doğru Yaklaşım: f(x - 2)'de x yerine ne yazarsak f(3) elde ederiz mantığıyla x - 2 = 3 \implies x = 5 olarak grafiği 2 birim sağa kaydırmak.
Bu soru tipinde f(2x) veya f(-x) gibi fonksiyon dönüşümlerini içeren benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?