F(x) = ₄[2 + ₂(3 - 2x)] fonksiyonu verildiğine göre, f⁻¹(1) değeri kaçtır?

YKS TYT
1

f(x) = \log_{4}[2 + \log_{2}(3 - 2x)] fonksiyonu verildiğine göre, f^{-1}(1) değeri kaçtır?
A) -\frac{3}{2}
B) -\frac{1}{2}
C) -1
D) \frac{1}{2}
E) \frac{3}{2}

f(x) = ₄ 2 + ₂(3 - 2x) fonksiyonu verildiğine göre, f⁻¹(1) değeri kaçtır?
f(x) = ₄ 2 + ₂(3 - 2x) fonksiyonu verildiğine göre, f⁻¹(1) değeri kaçtır?1024×768 73.5 KB

2

f(x) = \log_{4}[2 + \log_{2}(3 - 2x)] Fonksiyonunda f^{-1}(1) Değerinin Bulunması

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:

  • Ters Fonksiyon Özelliği: f^{-1}(b) = a \iff f(a) = b (Yani ters fonksiyonda 1’in görüntüsünü bulmak için fonksiyonun kendisini 1’e eşitleriz).
  • Logaritma Tanımı: \log_{a}(b) = c \iff b = a^c

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Ters Fonksiyon Eşitliğini Kurma
f^{-1}(1) = x olsun. Ters fonksiyon tanımı gereği bu ifade f(x) = 1 demektir. Fonksiyon kuralını 1’e eşitleyelim:

\log_{4}[2 + \log_{2}(3 - 2x)] = 1

Adım 2 — Dıştaki Logaritmayı Çözme
Tabandaki 4 sayısını karşıya üs olarak atalım:

2 + \log_{2}(3 - 2x) = 4^1
2 + \log_{2}(3 - 2x) = 4

Adım 3 — İçteki Logaritmayı Yalnız Bırakma
Eşitliğin solundaki +2 sayısını sağ tarafa atalım:

\log_{2}(3 - 2x) = 4 - 2
\log_{2}(3 - 2x) = 2

Adım 4 — İçteki Logaritmayı Çözme ve x’i Bulma
Tabandaki 2 sayısını karşıya üs olarak atalım:

3 - 2x = 2^2
3 - 2x = 4
-2x = 4 - 3
-2x = 1
x = -\frac{1}{2}

Bu durumda f^{-1}(1) = -\frac{1}{2} olarak bulunur.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) -\frac{1}{2}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Ters Fonksiyon ile Görüntü Bulma

  • Tanım: Bir fonksiyonun tersinin kuralını (f^{-1}(x)) bulmak yerine, f^{-1}(k) istendiğinde doğrudan f(x) = k denklemini çözmek çok daha hızlı ve pratik bir yöntemdir.
  • Bu problemde: f^{-1}(x) fonksiyonunu adım adım türetmek yerine doğrudan denklemi 1’e eşitleyerek işlem kalabalığını önledik.

2. İçiçe Logaritmik Denklemler

  • Tanım: \log_a(\log_b(A)) = c şeklindeki ifadelerde çözüme her zaman en dıştaki logaritmadan başlanarak içeriye doğru gidilir.
  • Bu problemde: Önce tabanı 4 olan dış logaritmayı, ardından tabanı 2 olan iç logaritmayı kaldırdık.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: f^{-1}(x) Kuralını Bulurken İşlem Hatası Yapmak

  • Yanlış: Fonksiyonu y’ye eşitleyip x’i y cinsinden çekmeye çalışırken üsleri yanlış dağıtmak (4^{y-2} gibi ifadelerde işlem hatası yapmak).
  • Doğru: İstenen değer sabit bir sayı (1) olduğu için doğrudan fonksiyonu 1’e eşitlemek.
  • Neden yanlış: Cebirsel olarak ters fonksiyon kuralını çıkarmaya çalışmak gereksiz işlem basamağı oluşturur ve hata riskini artırır.

Logaritmanın tanım kümesi veya benzer ters fonksiyon sorularıyla ilgili başka bir örnek çözmemi ister misin?

3

bu soruyu uzunca çözer misin Uzun Yoldan

4

f(x) = \log_{4}[2 + \log_{2}(3 - 2x)] Fonksiyonunun Tersini (f^{-1}(x)) Bularak f^{-1}(1) Değerinin Hesaplanması (Uzun Yol)

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:

  • Ters Fonksiyon Bulma Kuralı: Bir fonksiyonun tersini bulmak için f(x) = y eşitliği yazılır, cebirsel işlemlerle x yalnız bırakılır ve son olarak x yerine f^{-1}(x), y yerine x yazılır.
  • Logaritma-Üslü Sayı Dönüşümü: \log_{a}(b) = c \iff b = a^c

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Fonksiyonu y Değişkenine Eşitleme
Fonksiyonun tersinin kuralını elde etmek için verilen ifadeyi y’ye eşitleyelim:

y = \log_{4}[2 + \log_{2}(3 - 2x)]

Adım 2 — Dıştaki Logaritmayı Kaldırma
Tabandaki 4 sayısını eşitliğin diğer tarafına üs tabanı olarak geçirelim:

4^y = 2 + \log_{2}(3 - 2x)

Adım 3 — İçteki Logaritmalı İfadeyi Yalnız Bırakma
Eşitliğin sağ tarafındaki +2 sabit sayısını sol tarafa atalım:

\log_{2}(3 - 2x) = 4^y - 2

Adım 4 — İçteki Logaritmayı Kaldırma
Tabandaki 2 sayısını karşı tarafa üs tabanı olarak geçirelim:

3 - 2x = 2^{4^y - 2}

Adım 5 — x Değişkenini Yalnız Bırakma
-2x terimini sağa, üslü ifadeyi sola alalım ve her iki tarafı 2’ye bölelim:

2x = 3 - 2^{4^y - 2}
x = \frac{3 - 2^{4^y - 2}}{2}

Adım 6 — Ters Fonksiyon Kuralını (f^{-1}(x)) Yazma
Elde ettiğimiz ifadede y yerine x yazarak genel ters fonksiyon kuralını oluşturalım:

f^{-1}(x) = \frac{3 - 2^{4^x - 2}}{2}

Adım 7 — f^{-1}(1) Değerini Hesaplama
Bulduğumuz ters fonksiyon kuralında x = 1 yazalım:

f^{-1}(1) = \frac{3 - 2^{4^1 - 2}}{2}
f^{-1}(1) = \frac{3 - 2^{4 - 2}}{2}
f^{-1}(1) = \frac{3 - 2^2}{2}
f^{-1}(1) = \frac{3 - 4}{2} = -\frac{1}{2}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) -\frac{1}{2}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Cebirsel Yolla Fonksiyon Tersi Bulma

  • Tanım: y = f(x) denkleminde x’i y türünden tek başına bırakıp değişkenlerin yerini değiştirdiğimizde elde edilen fonksiyon kuralı f^{-1}(x) olur.
  • Bu problemde: İçiçe logaritmik yapı adım adım kaldırılarak x = \frac{3 - 2^{4^y - 2}}{2} bağıntısına ve dolayısıyla f^{-1}(x) kuralına ulaşıldı.

2. Katlı Üslü İfadelerin Hesaplanması

  • Tanım: a^{b^c - d} yapısındaki ifadelerde işlem önceliği en üstteki üsten başlanarak aşağıya doğru hesaplanır.
  • Bu problemde: 2^{4^1 - 2} işleminde önce 4^1 - 2 = 2 hesaplandı, ardından 2^2 = 4 bulundu.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Üslerin Kuvvetini Yanlış Dağıtmak

  • Yanlış: 2^{4^y - 2} ifadesini (2 \cdot 4)^y - 2 veya 8^y - 2 şeklinde çarparak yazmak.
  • Doğru: Taban ve üs ayrı tutulmalı, önce üs kuvveti hesaplanmalıdır (4^1 - 2 = 2 \implies 2^2 = 4).
  • Neden yanlış: Üslü sayılarda taban ile kuvvet çarpılamaz; işlem önceliği kuvvetindir.

Ters fonksiyon kuralı bulma ile ilgili benzer bir logaritma sorusu daha çözerek pekiştirmek ister misin?

5

Peki benim de çözdüğüm yolda neden hatalı

6

Kağıttaki Çözümünde Yapılan Hatanın Analizi

Kağıda yazdığın çözüm adımları mantık olarak doğru bir şekilde ilerlemiş; ancak 4. adımda üslü ifade yazımında (notasyon) kritik bir hata yapılmıştır.

:magnifying_glass_tilted_left: Hatanın Yapıldığı Adım ve Detayı

Kağıdındaki adımları sırasıyla inceleyelim:

  1. 1. ve 2. Satır (Doğru):

    2 + \log_{2}(3 - 2x) = 4^y
    \log_{2}(3 - 2x) = 4^y - 2

    (Buraya kadar işlemlerin tamamen doğru.)

  2. 3. Satır — Hatanın Oluştuğu Yer:
    \log_{2} tabanını karşı tarafa taban olarak atarken eşitliğin sağındaki tüm ifade (4^y - 2) 2’nin kuvveti (üssü) olmalıdır:

    • Senin yazdığın: 3 - 2x = 2^{4y - 2} (Burada 4^y üslü ifadesi, çarpım durumundaki 4y ifadesine dönüşmüş).
    • Doğrusu: 3 - 2x = 2^{(4^y - 2)} veya 2^{4^y - 2} (Katlı/kule üs olarak kalmalıydı).

:warning: Neden Hatalıdır ve Neyi Değiştirir?

  • Kavramsal Fark: 4^y ifadesi üslü bir fonksiyondur, 4y ise doğrusal (çarpım) bir ifadedir.
  • y = 1 değeri için:
    • Senin yazdığın 4y - 2 \implies 4(1) - 2 = 2 sonucunu verir.
    • Doğru olan 4^y - 2 \implies 4^1 - 2 = 2 sonucunu verir.

Bu soruda tesadüfen y=1 için 4^1 = 4(1) = 4 çıktığından f^{-1}(1) değerini yine -\frac{1}{2} bulursun; ancak örneğin f^{-1}(2) sorulsaydı:

  • Senin formülüne göre (4y ile): 4(2) - 2 = 6 \implies 2^6 = 64 çıkacaktı.
  • Doğru formüle göre (4^y ile): 4^2 - 2 = 14 \implies 2^{14} = 16384 çıkacaktı.

:light_bulb: Doğru Genel Ters Fonksiyon Kuralı

Denklemi doğru üs kuvvetiyle bitirdiğimizde:

2x = 3 - 2^{4^y - 2}
x = \frac{3 - 2^{4^y - 2}}{2} \implies f^{-1}(x) = \frac{3 - 2^{4^x - 2}}{2}

Üslü ve logaritmalı fonksiyonların tersini alırken katlı üslerle ilgili pratik yapabileceğimiz başka bir örnek incelemek ister misin?