f(x) > 0 olmak üzere,
f^2(2x) = 16 dot (x^4 + 2x^3 + x^2)
fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, f'(2) değeri kaçtır?
A) 24
B) 16
C) 12
D) 6
E) 4
Bileşke Fonksiyonlarda Zincir Kuralı ve Türev Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bileşke ve kuvvet fonksiyonlarının türevinde zincir kuralı uygulanır: \frac{d}{dx}[f(g(x))^n] = n \cdot f(g(x))^{n-1} \cdot f'(g(x)) \cdot g'(x). Ayrıca eşitliğin her iki tarafının doğrudan türevi alınarak istenen noktadaki değer bulunabilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — x = 1 için f(2) değerinin bulunması
Soruda f(x) > 0 ve f^2(2x) = 16 \cdot (x^4 + 2x^3 + x^2) verilmiştir. İstenen türev değeri f'(2) olduğundan iç kısımdaki 2x = 2 eşitliğini sağlamak üzere x = 1 yazılır:
f^2(2) = 16 \cdot (1^4 + 2 \cdot 1^3 + 1^2) = 16 \cdot 4 = 64
f(x) > 0 şartı gereği:
f(2) = 8
Adım 2 — Eşitliğin her iki tarafının türevinin alınması
Eşitliğin her iki tarafına x’e göre türev (zincir kuralı) uygulanır:
2 \cdot f(2x) \cdot f'(2x) \cdot 2 = 16 \cdot (4x^3 + 6x^2 + 2x)
4 \cdot f(2x) \cdot f'(2x) = 16 \cdot (4x^3 + 6x^2 + 2x)
Adım 3 — x = 1 yazılarak f'(2) değerinin hesaplanması
Türev denkleminde x = 1 ve f(2) = 8 değerleri yerine konur:
4 \cdot 8 \cdot f'(2) = 16 \cdot (4 \cdot 1 + 6 \cdot 1 + 2 \cdot 1)
32 \cdot f'(2) = 16 \cdot 12
32 \cdot f'(2) = 192 \implies f'(2) = \frac{192}{32} = 6
CEVAP: D) 6 (f'(2) = 6)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Fonksiyonun kuralını f(x) cinsinden açıkça elde etmeye çalışmak yerine her iki tarafın doğrudan türevini alıp x = 1 yazmak işlem hatası riskini azaltır ve sınavda ciddi zaman kazandırır. İç fonksiyonun türevi olan (2x)' = 2 çarpanını yazmayı unutmamak kritik adımdır.