f ve g gerçek sayılar kümesi üzerinde sürekli fonksiyonlar olup her x ın [-3, 3] için;
f(x^2) + g(3 - x) = 3x^2 + 15
g(3 - x) + g(x) = 16
eşitlikleri sağlanmaktadır.
Buna göre,
\int_{-3}^{3} f(x^2) dx
integralinin değeri kaçtır?
A) 48
B) 72
C) 84
D) 96
E) 144
Bu soruyu çözmek için verilen denklemleri ve integral özelliklerini adım adım kullanacağız.
Belirli İntegral Değeri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- \int_{-a}^{a} h(x) dx = 2 \int_{0}^{a} h(x) dx, eğer h(x) çift fonksiyon ise.
- \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx
- \int_{a}^{b} c \, dx = c(b-a)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İntegrali Basitleştirme
İstenen integral \int_{-3}^{3} f(x^2) dx şeklindedir. f(x^2) ifadesi, x yerine -x yazıldığında değişmez (f((-x)^2) = f(x^2)). Bu nedenle f(x^2) bir çift fonksiyondur. Çift fonksiyonların simetrik aralıklardaki integrali şu şekilde basitleştirilebilir:
\int_{-3}^{3} f(x^2) dx = 2 \int_{0}^{3} f(x^2) dx
Adım 2 — f(x^2) İfadesini Yerine Koyma
Soruda verilen ilk eşitlik f(x^2) + g(3 - x) = 3x^2 + 15’tir. Bu eşitlik her x \in [-3, 3] için geçerlidir, dolayısıyla x \in [0, 3] aralığı için de geçerlidir. Buradan f(x^2) ifadesini çekelim:
f(x^2) = 3x^2 + 15 - g(3 - x)
Şimdi bu ifadeyi integralde yerine yazalım:
2 \int_{0}^{3} (3x^2 + 15 - g(3 - x)) dx = 2 \left( \int_{0}^{3} (3x^2 + 15) dx - \int_{0}^{3} g(3 - x) dx \right)
Adım 3 — İlk İntegrali Hesaplama
Parantez içindeki ilk integrali hesaplayalım:
\int_{0}^{3} (3x^2 + 15) dx = \left[ \frac{3x^3}{3} + 15x \right]_{0}^{3} = [x^3 + 15x]_{0}^{3}
= (3^3 + 15 \cdot 3) - (0^3 + 15 \cdot 0) = (27 + 45) - 0 = 72
Adım 4 — İkinci İntegrali Dönüştürme
Parantez içindeki ikinci integral \int_{0}^{3} g(3 - x) dx’tir. Bu integralde değişken değiştirme yapalım. u = 3 - x olsun. Bu durumda du = -dx olur.
Sınırlar:
- x = 0 \implies u = 3 - 0 = 3
- x = 3 \implies u = 3 - 3 = 0
İntegral yeni değişkenle şu hale gelir:
\int_{0}^{3} g(3 - x) dx = \int_{3}^{0} g(u) (-du) = \int_{0}^{3} g(u) du
Adım 5 — \int_{0}^{3} g(u) du Değerini Bulma
Soruda verilen ikinci eşitlik g(3 - x) + g(x) = 16’dır. Bu eşitlik her x \in [-3, 3] için geçerlidir. u \in [0, 3] aralığı bu koşulu sağladığı için g(u) + g(3 - u) = 16 eşitliği de geçerlidir.
Şimdi \int_{0}^{3} g(u) du integralini I_g olarak adlandıralım.
İntegral özelliği \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx kullanarak:
I_g = \int_{0}^{3} g(u) du = \int_{0}^{3} g(0+3-u) du = \int_{0}^{3} g(3-u) du
Bu iki ifadeyi toplayalım:
2I_g = \int_{0}^{3} g(u) du + \int_{0}^{3} g(3-u) du = \int_{0}^{3} (g(u) + g(3-u)) du
g(u) + g(3-u) = 16 olduğu için:
2I_g = \int_{0}^{3} 16 du = [16u]_{0}^{3} = 16(3) - 16(0) = 48
I_g = \frac{48}{2} = 24
Yani, \int_{0}^{3} g(3 - x) dx = 24’tür.
Adım 6 — Sonucu Hesaplama
Şimdi tüm bulduğumuz değerleri Adım 2’deki ana ifadeye yerleştirelim:
\int_{-3}^{3} f(x^2) dx = 2 \left( \int_{0}^{3} (3x^2 + 15) dx - \int_{0}^{3} g(3 - x) dx \right)
= 2 (72 - 24)
= 2 (48)
= 96
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 96
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Çift Fonksiyon İntegrali: Simetrik aralıkta ([-a, a]) çift fonksiyonun integrali, [0, a] aralığındaki integralinin iki katıdır.
- Değişken Değiştirme (u-substitüsyonu): İntegralleri daha basit hale getirmek için kullanılan bir yöntemdir.
- İntegral Özelliği (\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx): Belirli integrallerin değerini hesaplamada veya fonksiyon özelliklerini kullanmada yardımcı olan bir özelliktir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: g(x) fonksiyonunu sabit bir fonksiyon (g(x)=8) olarak varsaymak. Soruda g(x)'in genel bir sürekli fonksiyon olduğu belirtildiği için bu varsayım doğru sonuca götürse de, matematiksel olarak her zaman geçerli değildir ve genel çözüm yöntemini kullanmak gerekir.- Doğru Yaklaşım: g(x)'in verilen özelliğini integralin içinde doğrudan kullanmak ve integral özelliklerinden faydalanarak bilinmeyen terimleri sadeleştirmek.
Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?