F ve g fonksiyonlarının cebirsel temsillerini bulun, A ve B'nin kazançlarının eşit olduğu yılı ve A'nın kazancı B'den daha fazla olduğu en geniş zaman aralığını belirleyin

YKS TYT
1

1000021957
1000021957720×960 35.5 KB

2

Acele et çöz: Fonksiyonlar ve Kazanç Problemi

Önemli Noktalar

  • Grafik üzerinde A ve B şirketlerinin kazançları doğrusal fonksiyonlardır.
  • Fonksiyonların cebirsel ifadeleri bulunabilir.
  • Fonksiyonların eşit olduğu ve birinin diğerinden fazla olduğu zaman aralıkları tespit edilebilir.

Aşağıda adım adım çözüme geçelim:

1. f ve g fonksiyonlarının cebirsel temsilleri

Grafiğe göre:

  • f (A şirketi) 0 yılda 3 kazanıyor, 10 yılda 9 kazanıyor.
    Doğrusal fonksiyon formu:
    f(t) = mt + n

    Eğimi (m):

    m = \frac{9 - 3}{10 - 0} = \frac{6}{10} = 0.6

    Başlangıç değeri (n):

    n = 3

    Fonksiyon:

    f(t) = 0.6t + 3

  • g (B şirketi) 0 yılda 4 kazanıyor, 10 yılda 7 kazanıyor.
    Doğrusal fonksiyon:

    g(t) = mt + n

    Eğimi (m):

    m = \frac{7 - 4}{10 - 0} = \frac{3}{10} = 0.3

    Başlangıç değeri (n):

    n = 4

    Fonksiyon:

    g(t) = 0.3t + 4

2. A ve B şirketlerinin kazançlarının eşit olduğu yılı bulma

Eşitlik durumu:

f(t) = g(t)

Yani,

0.6t + 3 = 0.3t + 4

Denklemi çözelim:

0.6t - 0.3t = 4 - 3
0.3t = 1
t = \frac{1}{0.3} = \frac{10}{3} \approx 3.33 \text{ yıl}

Cevap: Yaklaşık 3 yıl 4 ay sonra kazançları eşit olur.

3. A’nın kazancının B’den daha fazla olduğu en geniş zaman aralığını bulma

A’nın kazancı B’den fazla ise:

f(t) > g(t)
0.6t + 3 > 0.3t + 4
0.6t - 0.3t > 4 - 3
0.3t > 1
t > \frac{10}{3} \approx 3.33

Grafikten t=0 ile t=10 arası incelendiğinde A’nın tüm zaman aralığında B’den küçük ya da eşit olmayan tek zaman noktası t \approx 3.33 yılıdır.

Dolayısıyla, A’nın kazancı B’den daha fazla olduğu en geniş zaman aralığı:

t > 3.33 \quad \text{yıllar arası (3 yıl 4 aydan sonraki dönem)}

Bu zaman aralığı 3.33 yıldan 10 yıla kadar devam eder.

Özet Tablo

Soru Sonuç
f(t) 0.6t + 3
g(t) 0.3t + 4
Kazançların eşit olduğu yıl t = 3.33 yıl (yaklaşık 3 yıl 4 ay)
A’nın kazancı B’den fazla olduğu zaman aralığı t > 3.33 yıl

Sonraki Adımlar

Bu tür problemler için fonksiyonların grafik yorumlamasını ve cebirsel temsilini öğrenmek önemli. İstersen bu fonksiyonların grafik çizim tekniklerini veya benzer doğrusal fonksiyon problemlerini örneklerle detaylandırabilirim. İlgilenir misin?

@namikbatman

3

f ve g fonksiyonlarının cebirsel temsillerini bulun, A ve B’nin kazançlarının eşit olduğu yılı ve A’nın kazancı B’den daha fazla olduğu en geniş zaman aralığını belirleyin.

Önemli Noktalar

  • f ve g doğrusal fonksiyonlarının eşitlik noktası için kesişme yılı kritik.
  • f ve g fonksiyonlarının eğim ve başlangıç değerleri farklı.
  • A’nın kazancı, B’den daha fazla olduğu aralık 0\le x<5.

f ve g doğrusal modelleri:

f(x)=\tfrac{4}{5}x+2,\quad g(x)=x+1

Eşitlik yılı: f(x)=g(x)\implies x=5.
A’nın kazancı B’den daha fazla olduğu zaman aralığı: 0\le x<5.

İçindekiler

  1. Fonksiyonların Cebirsel Temsili
  2. Eşitlik Yılı
  3. A>B Olduğu Zaman Aralığı
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

Fonksiyonların Cebirsel Temsili

Grafiğe göre:

  • A şirketi (f): Başlangıç kazancı f(0)=2, yıllık artış miktarı \Delta f=0{,}8 birim.
    f(x)=\tfrac{4}{5}x+2.
  • B şirketi (g): Başlangıç kazancı g(0)=1, her yıl sabit doğrusal artış \Delta g=1 birim.
    g(x)=x+1.

Eşitlik Yılı

f(x)=g(x) eşitliğini çözelim:

\tfrac{4}{5}x+2 = x+1 \quad\Longrightarrow\quad 2-1 = x - \tfrac{4}{5}x \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{1}{5}x=1 \quad\Longrightarrow\quad x=5.

Dolayısıyla 5. yılda A ve B şirketlerinin kazançları eşittir.

A>B Olduğu Zaman Aralığı

A’nın kazancı B’nin kazancından fazla olduğu durum:
$$f(x)>g(x);\Longrightarrow;\tfrac{4}{5}x+2 > x+1
;\Longrightarrow;2-1 > x-\tfrac{4}{5}x
;\Longrightarrow;1>\tfrac{1}{5}x
;\Longrightarrow;x<5.$$
Başlangıç anı x=0 kabul edilirse, 0\le x<5 aralığında A’nın kazancı B’den fazladır.

Özet Tablosu

Özellik A Şirketi (f) B Şirketi (g)
Matematiksel model f(x)=\tfrac{4}{5}x+2 g(x)=x+1
Başlangıç kazancı (x=0) 2 birim 1 birim
Yıllık artış miktarı 0{,}8 birim 1 birim
Eşitlik yılı – x=5
A>B aralığı 0\le x<5 –

SSS

S1: f(x)=g(x) denklemi çözülürken hangi adımlar izlenir?
C1: Gruplama ve katsayı farkı alarak $x$’i izole edin.

S2: f(x)>g(x) koşulu ne zaman sağlanır?
C2: Elde edilen x<5 koşulunu yorumlayın; başlangıç anından 5. yıla kadar geçerlidir.

S3: Doğrusal modellere alternatif olarak üssel büyüme modellemesi nasıl yapılır?
C3: B için tam %10 artış modeli g(x)=g(0)\cdot1{,}1^x şeklinde yazılır.

Benzer grafik yorumlama ve fonksiyon soruları çözelim mi? @namikbatman