F ve g fonksiyonları ve türevleri x = 2 ve x = 3 noktalarında aşağıdaki değerleri aldığını varsayalım. | 1794762551571

Question Answer
1
  1. f ve g fonksiyonları ve türevleri x = 2 ve x = 3 noktalarında aşağıdaki değerleri aldığını varsayalım.
    | x | f(x) | g(x) | f'(x) | g'(x) |
    |1--- | 1— | 1--- | 1— |$ 1— |
    | 2 | 8 | 2 | 1/3 | -3 |
    | 3 | 3 | -4 | 2\pi | 5 |
    Verilen x değerinde aşağıdaki ifadelerin x’e göre türevlerini bulunuz.
    A) 2f(x), x = 2)
    B) f(x) + g(x), x = 3)
    C) f(x) \cdot g(x), x = 3)
    D) f(x)/g(x), x = 2)
    E) f(g(x)), x = 2)
    f.
\sqrt{f(x)}, x = 2

g.

1/g^2(x), x = 3

h.

\sqrt{f^2(x) + g^2(x)}, x = 2

f ve g fonksiyonları ve türevleri x = 2 ve x = 3 noktalarında aşağıdaki değerleri...
f ve g fonksiyonları ve türevleri x = 2 ve x = 3 noktalarında aşağıdaki değerleri...1024×768 217 KB

2

Tablo Yardımıyla Temel Türev Kuralları ve Zincir Kuralı Analizi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Toplam, çarpım, bölüm ve bileşke (zincir) türev kuralları tabloda verilen noktasal fonksiyon ve türev değerleri yerine konularak hesaplanır:

  • Çarpım Türevi: (f \cdot g)' = f'g + fg'
  • Bölüm Türevi: \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}
  • Zincir Kuralı: [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Tablodan verilen temel değerler:

  • x = 2 için: f(2) = 8, g(2) = 2, f'(2) = \frac{1}{3}, g'(2) = -3
  • x = 3 için: f(3) = 3, g(3) = -4, f'(3) = 2\pi, g'(3) = 5

a. 2f(x) ifadesinin x = 2 noktasındaki türevi:

\frac{d}{dx}[2f(x)]_{x=2} = 2 \cdot f'(2) = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

b. f(x) + g(x) ifadesinin x = 3 noktasındaki türevi:

\frac{d}{dx}[f(x) + g(x)]_{x=3} = f'(3) + g'(3) = 2\pi + 5

c. f(x) \cdot g(x) ifadesinin x = 3 noktasındaki türevi (Çarpım Kuralı):

\frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)]_{x=3} = f'(3)g(3) + f(3)g'(3) = (2\pi)(-4) + (3)(5) = 15 - 8\pi

d. \frac{f(x)}{g(x)} ifadesinin x = 2 noktasındaki türevi (Bölüm Kuralı):

\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]_{x=2} = \frac{f'(2)g(2) - f(2)g'(2)}{[g(2)]^2} = \frac{\left(\frac{1}{3}\right)(2) - (8)(-3)}{2^2} = \frac{\frac{2}{3} + 24}{4} = \frac{74}{12} = \frac{37}{6}

e. f(g(x)) ifadesinin x = 2 noktasındaki türevi (Zincir Kuralı):

\frac{d}{dx}[f(g(x))]_{x=2} = f'(g(2)) \cdot g'(2) = f'(2) \cdot (-3) = \frac{1}{3} \cdot (-3) = -1

f. \sqrt{f(x)} ifadesinin x = 2 noktasındaki türevi:

\frac{d}{dx}[\sqrt{f(x)}]_{x=2} = \frac{f'(2)}{2\sqrt{f(2)}} = \frac{1/3}{2\sqrt{8}} = \frac{1}{3 \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{1}{12\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{24}

g. \frac{1}{g^2(x)} = [g(x)]^{-2} ifadesinin x = 3 noktasındaki türevi:

\frac{d}{dx}[g(x)^{-2}]_{x=3} = -2[g(3)]^{-3} \cdot g'(3) = \frac{-2 \cdot 5}{(-4)^3} = \frac{-10}{-64} = \frac{5}{32}

h. \sqrt{f^2(x) + g^2(x)} ifadesinin x = 2 noktasındaki türevi:

\frac{d}{dx}\left[\sqrt{f^2(x) + g^2(x)}\right]_{x=2} = \frac{2f(2)f'(2) + 2g(2)g'(2)}{2\sqrt{f^2(2) + g^2(2)}} = \frac{8\left(\frac{1}{3}\right) + 2(-3)}{\sqrt{8^2 + 2^2}} = \frac{\frac{8}{3} - 6}{\sqrt{68}} = \frac{-\frac{10}{3}}{2\sqrt{17}} = -\frac{5}{3\sqrt{17}} = -\frac{5\sqrt{17}}{51}

:white_check_mark: CEVAP:

  • a) \mathbf{\frac{2}{3}}
  • b) \mathbf{2\pi + 5}
  • c) \mathbf{15 - 8\pi}
  • d) \mathbf{\frac{37}{6}}
  • e) \mathbf{-1}
  • f) \mathbf{\frac{\sqrt{2}}{24}}
  • g) \mathbf{\frac{5}{32}}
  • h) \mathbf{-\frac{5\sqrt{17}}{51}}

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Zincir kuralı uygulanan e şıkkında önce içteki fonksiyonun görüntüsü (g(2) = 2) bulunur, ardından f'(2) değeri alınarak g'(2) ile çarpılır; f'(g'(2)) şeklinde bir işlem kesinlikle yapılmamalıdır.