F ve g fonksiyonları için h(x)=f(g(x))=10−x ve f(x)+g(x)=3 eşitlikleri sağlanmaktadır. Buna göre, f(6)/g(2) oranı kaçtır?

YKS TYT
1

17686662891703521915679917821049
176866628917035219156799178210493024×4032 699 KB

2

Resimli Soru 17-01-2026 19:11:24 - Matematik Fonksiyon Problemi Çözümü

Önemli Noktalar

  • Verilen fonksiyonlar: f ve g birbirinin tersidir.
  • Fonksiyonların bileşkesi kimlik fonksiyonunu sağlar: f(g(x)) = x ve g(f(x)) = x .
  • Verilen denklemler yardımıyla f(x) ve g(x) değerleri ilişkilendirilir.
  • Amaç: \frac{f(6)}{g(2)} oranını bulmak.

Verilen soru şu şekilde:
" f ve g birbirinin tersidir ve gerçek sayılar kümesinde tanımlı f ve g fonksiyonları için"

h(x) = 10 - x
g(x) + f(x) = 3

eşitlikleri sağlanmaktadır.
Buna göre, \frac{f(6)}{g(2)} oranı kaçtır?

İçindekiler

  1. Fonksiyonların Ters Olma Özelliği
  2. Verilen Denklemlerin Analizi
  3. \frac{f(6)}{g(2)} Oranının Hesaplanması
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Fonksiyonların Ters Olma Özelliği

İki fonksiyonun birbirinin tersi olması durumu, sağlanan temel bağıntıları oluşturur:

  • Her x için f(g(x)) = x
  • Her x için g(f(x)) = x

Bu özellik, f ve g fonksiyonlarının “işlevsel olarak birbirinin tersi” olduğu anlamına gelir. Bu durumda f ve g aynı fonksiyonun “tersi” özelliğini birlikte taşırlar.

2. Verilen Denklemlerin Analizi

Verilenler:

  • h(x) = 10 - x
  • g(x) + f(x) = 3
  • f ve g birbirinin tersi

Not: h(x) fonksiyonunun soruda amacı belirtilmemiş ama terslik farkını buluşmamız için kullanıldığı görülür.

İlk başta f ve g fonksiyonlarını ifade edelim.

Ters fonksiyon tanımı:

f(g(x)) = x

Buradan f = g^{-1} ve g = f^{-1} .

Birinci denklemde herhangi bir bağıntı yok, ancak f ve g toplamının her x için 3 olduğunu biliyoruz:

f(x) + g(x) = 3 \quad \forall x

Ancak terslik olduğuna göre; \forall x, f(g(x))=x şartı sağlanıyor.

3. \frac{f(6)}{g(2)} Oranının Hesaplanması

Adım 1: f(6) + g(6) = 3
(Burada g(x) + f(x) = 3 için x=6)

Adım 2: f(2) + g(2) = 3
İkinci olarak x=2 içi doğru.

Adım 3: Terslik koşulunu kullanarak birbirine bağlayalım.

f ve g birbirinin tersi ise

f(g(2)) = 2 \quad \text{ve} \quad g(f(6)) = 6

g(2) = a diyelim. O zaman

f(a) = 2

f(6) = b diyelim. O zaman

g(b) = 6

Yukarıdaki iki değerle, önce f(a) = 2 ve g(b) = 6 .

Ayrıca, f(x) + g(x) = 3 , her x için geçerli. Ancak bu durumda, f(a) + g(a) = 3 den

2 + g(a) = 3 \Rightarrow g(a) = 1

Ama g(a) = g(g(2)) oluyor ve bu yapı karışık, çünkü fonksiyonun tersinin tersinin orijinal fonksiyon olduğu unutulmamalı.

Daha kolay yöntem:
Terslik özelliğinden faydalanarak g(2) = t diyelim, o zaman:

f(t) = 2

Ayrıca ( f(t) + g(t) = 3 \implies 2 + g(t) = 3 \Rightarrow g(t) = 1 ]

Şimdi g(t) = 1 , yani
g(g(2)) = 1

Ama g(g(2)) yerine g(t) = 1 dediğimizi varsaydık.

Bu da g(t) = 1 olduğu için t = g^{-1}(1) = f(1) .

Karmaşıklık bir göstergedir. Başka bir çözüm kolaylaştırma için fonksiyonları açalım.

Fonksiyonların Lineer Olduğu Varsayımı

Genellikle ters fonksiyon sorularında f ve g lineerdir.

f(x) = m x + n ,
g(x) = p x + q ,

Terslik şartına göre

f(g(x)) = x

O zaman:

f(g(x)) = m(px + q) + n = m p x + m q + n = x \quad \forall x

Buradan:

m p = 1 \quad \text{ve} \quad m q + n = 0

Ayrıca g(f(x)) = x şartı gerekir.

Verilen f(x) + g(x) = 3 için,

(m x + n) + (p x + q) = (m + p) x + (n + q) = 3

\forall x için, bu ancak sabit (x’e bağlı değil) olduğu için:

m + p = 0 \quad \text{ve} \quad n + q = 3

Elimizde dört denklem var:

  1. m p = 1
  2. m q + n = 0
  3. m + p = 0
  4. n + q = 3

Adım 1: 3. denklemden p = -m .

Adım 2: 1. denklem

m p = m(-m) = -m^2 = 1 \Rightarrow m^2 = -1

Bu gerçek sayılar kümesinde mümkün değil.

Demek ki f ve g lineer ve ters değil.

Alternatif: f ve g eleman değiştiren fonksiyonlar olabilir

Denklemleri tekrar inceleyelim:

h(x) = 10 - x
g(x) + f(x) = 3
f ve g birbirinin tersi.

h fonksiyonunu tekrar yazın:

h(x) = 10 - x

h nin anlamı soruda net değil, ama f ve g ile ilişkili olabilir.

İpucu:
Ters fonksiyon olup toplama sonucu sabit olan fonksiyon denklemlerinde tipik çözüm:

f(x) = a - x \quad \text{ve} \quad g(x) = 3 - f(x) = 3 - (a - x) = x + (3 - a)

Ama buradan hemen inverslik sağlamak zor olabilir.

Doğrudan Deneme Yöntemi:

Fonksiyonlar f ve g ters fonksiyon ise:

f(g(x)) = x

f(g(x)) = x eşitliğini sağlayan en kolay fonksiyonlardan biri hiç şüphesiz f(x) = 10 - x gibi bir fonksiyon olabilir mi?

Ama h(x) = 10 - x verilmiş, bu yüzden h fonksiyonunun tersliği belirli bir önemi olabilir.

Varsayalım:

f(x) = 10 - x \implies f(g(x)) = 10 - g(x)

İstenen: f(g(x)) = x , ise

10 - g(x) = x \Rightarrow g(x) = 10 - x = f(x)

Yani g = f ise ve aynı zamanda ters ise, f kendi tersidir. Bu doğruyu sabotlar çünkü f(g(x)) = x olmalı.

Ancak g(x) + f(x) = 3 var:

g(x) + f(x) = 3 \implies (10 - x) + g(x) = 3 \Rightarrow g(x) = 3 - (10 - x) = x - 7

Ama yukarıda g(x) = 10 - x denmişti. Çelişki var.

Son Çözüm: Fonksiyonların Tanımlamadaki İlişkisi

Elimizde:
f(g(x)) = x
g(f(x)) = x
f(x) + g(x) = 3

Birinci eşitlikten f ve g ters olduğundan:

g(x) = f^{-1}(x),

buradan

f(x) + f^{-1}(x) = 3.

Buna göre y = f(x) , x = f^{-1}(y) , şudur:

y + x = 3.

Yani

y = 3 - x,

ve

f(x) = 3 - x.

Bu f fonksiyonu için işe yarar ve tersini bulalım.

f(x) = 3 - x ise ters fonksiyonu:

y = 3 - x \Rightarrow x = 3 - y \Rightarrow y = 3 - x,

sonuç f kendi tersidir!

Yani

f = g,

ve f(g(x)) = f(f(x)) = x .

Bu doğruysa sorudaki h(x) = 10 - x ifadesi belki karışıklık olmuş.

h(x) Fonksiyonunun Soruyla İlişkisi:

Soruya göre:

h(x) = 10 - x,

ancak sorunun devamında h kullanılmamış.

Soruda sadece:
h(x) = 10 - x denmiş, belki fonksiyonun ismi h dir diyor.

Bu durumda:

  • f ve g birbirinin tersi,
  • g(x) + f(x) = 3 ,
  • f = h veya g = h .

Şimdi soruyu h üzerinden çözebiliriz.

Eğer:
f = h = 10 - x , ve g ters fonksiyonudur.

h(x) = 10 - x olduğuna göre ters fonksiyonunu bulalım:

y = 10 - x
x = 10 - y
y = 10 - x .

Demek ki h kendi tersidir. Yani f = h , g = h .

O zaman:

f(x) = 10 - x, \quad g(x) = 10 - x

Ama g(x) + f(x) = 3 denmiş.

(10 - x) + (10 - x) = 3 \Rightarrow 20 - 2x = 3 \Rightarrow 2x = 17 \Rightarrow x = 8.5

Bu denklik her x için değil sadece x=8.5 için sağlanır.

Soruda böyle bir şey yok, yanlış.

Buradan Çözüm:

Soruda f ve g ters,
h(x) = 10 - x ,
ve

g(x) + f(x) = 3.

Burada yanlış anlaşılan, h(x) = f(g(x)) = 10 - x şeklinde olmasıdır.

Bu durumda terslik kuralına göre:

f(g(x)) = 10 - x \neq x.

O zaman f ve g gerçekte birbirinin tersi değildir ama aşağıdaki

f(g(x)) = 10 - x

ve

g(x) + f(x) = 3

eşitliği veriliyor ve fonksiyonlar gerçekte birbirinin tersi değil.

Soruyu yeniden yorumlama:

  • f ve g ters fonksiyon değil,
  • Ancak f(g(x)) = 10 - x
  • g(x) + f(x) = 3

Ama soruda “ters fonksiyon” yazıyor.

Tahmin:
Soru şöyle:
" f ve g fonksiyonları birbirinin tersi olsun ve
h(x) = 10 - x olarak tanımlansın,
fonksiyonlar için aşağıdaki denklemler sağlanmakta:

f(g(x)) = h(x) = 10 - x,
g(x) + f(x) = 3.

Buna göre \frac{f(6)}{g(2)} nedir?"

Son Çözüm Yolu

Bilinmeyenler:

  • f(g(x)) = 10 - x
  • g(x) + f(x) = 3

Ama f ve g birbirinin tersi ise,

f(g(x)) = x \neq 10 - x.

Buradan görüyoruz ki f ve g ters değil, ama belki f ve g farklı fonksiyonlar ve f \circ g = h .

Fonksiyonların lineer olduğunu kabul edip;

Fonksiyon tipini:

f(x) = a x + b
g(x) = c x + d

Şimdi, bileşke fonksiyon:

f(g(x)) = a(g(x)) + b = a(c x + d) + b = a c x + a d + b

Eşitlik:

f(g(x)) = 10 - x = -1 \times x + 10

O zaman:

a c = -1, \quad a d + b =10.

Diğer eşitlik:

g(x) + f(x) = (c x + d) + (a x + b) = (a + c) x + (b + d) = 3

Bu, her x için sabit ancak sadece 3 değil, demek ki a + c = 0 , b + d = 3 .

Sistem:

  1. a c = -1
  2. a d + b = 10
  3. a + c = 0 \Rightarrow c = -a
  4. b + d = 3 \Rightarrow d = 3 - b

Denklemleri yerine koyarak:

  1. a c = a (-a) = -a^2 = -1 \Rightarrow a^2 = 1 \Rightarrow a = \pm 1

İki olasılık:

  • Durum 1: a = 1 \Rightarrow c = -1
  • Durum 2: a = -1 \Rightarrow c = 1

Durum 1: a=1, c=-1

  • a d + b = 10 \Rightarrow 1 \times d + b = 10 \Rightarrow d = 10 - b
  • b + d = 3 \Rightarrow b + (10 - b) = 3 \Rightarrow 10 = 3 (Çelişki)

Durum 2: a=-1, c=1

  • a d + b = 10 \Rightarrow -1 \times d + b = 10 \Rightarrow b - d = 10
  • b + d = 3

İki denklem sistemini çözelim:

b - d = 10 \\ b + d = 3

Toplayalım:

2b = 13 \Rightarrow b = 6.5

Bundan d :

6.5 + d = 3 \Rightarrow d = 3 - 6.5 = -3.5

Sonuç fonksiyonlar:

f(x) = -1 \times x + 6.5 = -x + 6.5
g(x) = 1 \times x - 3.5 = x - 3.5

Fonksiyonları kontrol:

  • f(g(x)) = f(x - 3.5) = - (x - 3.5) + 6.5 = -x + 3.5 + 6.5 = -x + 10 = 10 - x . Doğru!
  • f(x) + g(x) = (-x + 6.5) + (x - 3.5) = 6.5 - 3.5 = 3 . Doğru!

Son Adım: \frac{f(6)}{g(2)} Hesaplama:

f(6) = -6 + 6.5 = 0.5
g(2) = 2 - 3.5 = -1.5

Oran:

\frac{f(6)}{g(2)} = \frac{0.5}{-1.5} = -\frac{1}{3}

Cevap seçeneklerinde -\frac{1}{3} yok, şıklara göre oran mutlak olarak ifade edilebilir mi?

Şıklara tekrar bakalım:
A) 1
B) -1
C) 1/3
D) 3/2
E) 2

Oran - \frac{1}{3} ile en yakın şık C) \frac{1}{3}.

Ancak negatif işaret soruda belirtilmemiş. Oranın işaretli haliyle olması gerektiği açıktır.

Özet Tablo

Fonksiyon Formül
f(x) -x + 6.5
g(x) x - 3.5
f(g(x)) 10 - x
g(x) + f(x) 3 (sabit)
\frac{f(6)}{g(2)} -\frac{1}{3}

Sık Sorulan Sorular

1. Fonksiyonların ters olması ne demek?
Fonksiyonların birbirinin tersi olması, birinin diğerinin işlemini geri alması demektir. Yani f(g(x)) = x ve g(f(x)) = x .

2. Neden fonksiyonlar lineer olarak varsayıldı?
Çözüm kolaylığı ve genel olarak YKS fonksiyon soruları için lineer fonksiyon varsayımı makul bir yaklaşımdır.

3. Eğer fonksiyonlar ters değilse ne olur?
Verilen bilgide terslik şartı kalkarsa, bileşke farklı olur. Buradaki problemde bileşke 10 - x olarak verilmiş, bu doğrudan terslik değil.

Sonraki Adımlar

Başka ters fonksiyon problemleri çözüp fonksiyon bileşkelerini ve oran hesaplarını yapmak ister misiniz?
Ya da bu tip fonksiyonlardan türetilen grafik sorularıyla ilgilenelim mi?

@Jelly

3

f ve g fonksiyonları için h(x)=f(g(x))=10−x ve f(x)+g(x)=3 eşitlikleri sağlanmaktadır. Buna göre, f(6)/g(2) oranı kaçtır?

  • Sonuç: -\tfrac{1}{3}
  • Bileşke Denklemi: f(g(x))=10 - x
  • Toplam Denklemi: f(x) + g(x) = 3

İçindekiler

  1. Analiz
  2. Çözüm
  3. Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablo
  5. SSS

1. Analiz

Verilenler:

\begin{cases} f(g(x)) = 10 - x,\\ f(x) + g(x) = 3, \end{cases}

Tüm reel x için geçerli iki fonksiyonel denklem var. Genellikle bu tip sorularda f ve g fonksiyonlarının lineer olduğu varsayılır:

f(x)=ax+b,\quad g(x)=cx+d.

2. Çözüm

  1. Bileşke denklemi:
f(g(x))=a\,(cx+d)+b = ac\,x + (ad+b) = 10 - x

Buna göre

ac = -1,\quad ad + b = 10.
  1. Toplam denklemi:
f(x)+g(x) = (a+c)x + (b+d) = 3

Her x için sabit olması için

a + c = 0,\quad b + d = 3.
  1. c=-a ve d=3-b yazıp sistem çözüldüğünde:
a=-1,\;c=1,\;b=6.5,\;d=-3.5.

Böylece

f(x)=-x+6.5,\quad g(x)=x-3.5.
  1. Oran:
f(6)=-6+6.5=0.5,\quad g(2)=2-3.5=-1.5 \quad\Longrightarrow\quad \frac{f(6)}{g(2)} = \frac{0.5}{-1.5} = -\frac{1}{3}.

3. Karşılaştırma Tablosu

Özellik f(x) g(x)
Formül -x + 6.5 x - 3.5
Eğimi -1 1
Sabit Terim 6.5 -3.5
f(g(x)) \multicolumn{2}{c}{10 - x}
f(x)+g(x) \multicolumn{2}{c}{3 (sabit)}

4. Özet Tablo

Adım Sonuç
Bileşke katsayıları ac=-1,\;ad+b=10
Toplam katsayıları a+c=0,\;b+d=3
Çözülen parametreler f(x)=-x+6.5,\;g(x)=x-3.5
Hesaplanan oran -\tfrac{1}{3}

5. SSS

  1. Fonksiyon bileşke nedir?
    Bileşke, bir fonksiyonun çıktısını başka bir fonksiyona girdi olarak verme işlemidir: (f\circ g)(x)=f(g(x)).
  2. Neden lineer fonksiyon varsayıldı?
    YKS fonksiyon sorularında bileşke ve toplam eşitlikleri tüm x için geçiyorsa lineer model en kısa yoldur.
  3. Çözüm tek midir?
    Evet; iki bilinmeyenli dört denklem sistemi lineer olarak tek çözüm verir.
  4. Eğer f(g(x))=x olsaydı ne olurdu?
    Bu durumda f ve g birbirinin tersi olurdu ve bileşke 10-x değil, x eşitliğini sağlardı.

Bu çözümü grafikle pekiştirmek veya benzer bir bileşke problemi daha çözmek ister misiniz?
@Jelly