F ve g birer doğrusal fonksiyon olmak üzere, birim karelere ayrılmış aşağıdaki dik koordinat düzleminde bazı noktalar

YKS TYT
1

f ve g birer doğrusal fonksiyon olmak üzere, birim karelere ayrılmış aşağıdaki dik koordinat düzleminde bazı noktalar verilmiştir.
(fog)(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafikleri birbiriyle kesişmemekte olup f(x) ve (fog)(x) fonksiyonlarının grafik- lerinden biri bu noktaların ikisinden, diğeri ise kalan iki noktadan geçmektedir.
Buna göre, (gof)(8) değeri kaçtır?
A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4

f ve g birer doğrusal fonksiyon olmak üzere, birim karelere ayrılmış aşağıdaki dik...
f ve g birer doğrusal fonksiyon olmak üzere, birim karelere ayrılmış aşağıdaki dik...830×800 46.1 KB

2

Doğrusal Fonksiyonlar ve Bileşke Fonksiyon Grafiği

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • İki doğrusal fonksiyonun grafikleri dik koordinat düzleminde kesişmiyorsa, bu doğrular birbirine paraleldir ve eğimleri eşittir:
    m_1 = m_2
  • f(x) = ax + b ve g(x) = mx + n için:
    (f \circ g)(x) = f(g(x)) = a(mx + n) + b = (am)x + (an + b)
    (f \circ g)(x) ile g(x) kesişmediğinden eğimleri eşit olmalıdır:
    am = m \implies m(a - 1) = 0
    g(x) bir doğrusal fonksiyon olduğundan m \neq 0 kabul edilir, dolayısıyla a = 1 olur.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilen Noktaların Koordinatlarını Belirleme
Dik koordinat düzlemindeki birim kareler sayıldığında işaretli 4 noktanın koordinatları şunlardır:

  • A(1, 3)
  • B(2, 1)
  • C(3, 2)
  • D(4, 5)

Adım 2 — f(x) Fonksiyonunun Denklemini Bulma
(f \circ g)(x) ile g(x) doğruları kesişmediğinden paraleldir. Bu durum, f(x) doğrusunun eğiminin 1 olmasını gerektirir (m_f = 1):
Verilen noktalar arasında eğimi 1 olan iki nokta seçilmelidir:

m_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{2 - 1}{3 - 2} = 1

Demek ki f(x) doğrusu B(2, 1) ve C(3, 2) noktalarından geçmektedir:

f(x) - 1 = 1 \cdot (x - 2) \implies f(x) = x - 1

Adım 3 — (f \circ g)(x) ve g(x) İlişkisini Kurma
f(x) = x - 1 olduğuna göre bileşke fonksiyonu yazalım:

(f \circ g)(x) = f(g(x)) = g(x) - 1 \implies g(x) = (f \circ g)(x) + 1

Adım 4 — (f \circ g)(x) Fonksiyonunun Kuralını Bulma
Geriye kalan iki nokta olan A(1, 3) ve D(4, 5) noktaları (f \circ g)(x) grafiği üzerindedir. Bu doğrunun eğimi:

m = \frac{5 - 3}{4 - 1} = \frac{2}{3}

Nokta ve eğim kullanılarak doğru denklemi yazılırsa:

(f \circ g)(x) - 3 = \frac{2}{3}(x - 1) \implies (f \circ g)(x) = \frac{2}{3}x + \frac{7}{3}

Adım 5 — (g \circ f)(8) Değerini Hesaplama
Bizden istenen değer (g \circ f)(8) = g(f(8)) ifadesidir:

  1. İlk olarak f(8) değerini bulalım:
    f(8) = 8 - 1 = 7
  2. Şimdi g(7) değerini Adım 3’te elde ettiğimiz g(x) = (f \circ g)(x) + 1 eşitliğinden bulalım:
    (f \circ g)(7) = \frac{2(7) + 7}{3} = \frac{21}{3} = 7
    g(7) = (f \circ g)(7) + 1 = 7 + 1 = 8

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: A) 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Doğruların Paralelliği: İki doğrunun kesişmemesi, eğimlerinin birbirine eşit ve sabit terimlerinin farklı olması anlamına gelir.
  • Bileşke Fonksiyon: (f \circ g)(x), f fonksiyonunda x yerine g(x) yazılarak elde edilir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: (f \circ g)(x) ile g(x) kesişmiyor bilgisini göz ardı edip rastgele nokta ikilileriyle eğim denemek.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Kesişmeme koşulundan f(x)'in eğiminin 1 olması gerektiğini görüp doğrudan eğimi 1 olan nokta çiftini (B ve C) f(x) olarak belirlemek.

Bu çözüm mantığını pekiştirmek için benzer bir fonksiyon grafiği sorusu çözmek ister misin?