f ve g birer doğrusal fonksiyon olmak üzere, birim ka- relere ayrılmış aşağıdaki dik koordinat düzleminde bazı noktalar verilmiştir.
(fog)(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafikleri birbiriyle ke- sişmemekte olup f(x) ve (fog)(x) fonksiyonlarının grafık- lerinden biri bu noktaların ikisinden, diğeri ise kalan iki noktadan geçmektedir.
Buna göre, (gof)(8) değeri kaçtır?
A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
Doğrusal Fonksiyonlarda Bileşke ve Grafik Analizi
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Doğrusal fonksiyonlar genel olarak f(x) = ax + b ve g(x) = cx + d biçimindedir.
- Bileşke fonksiyon: (f \circ g)(x) = f(g(x)) = a(cx + d) + b = acx + ad + b
- İki doğrunun kesişmemesi için eğimlerinin eşit (paralel) ve y-eksenini kestikleri noktaların farklı olması gerekir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Fonksiyonların Eğimlerinin Belirlenmesi
- g(x) = cx + d doğrusunun eğimi c’dir.
- (f \circ g)(x) = acx + ad + b doğrusunun eğimi ac’dir.
- (f \circ g)(x) ile g(x) grafiklerinin kesişmemesi (paralel olması) için eğimleri eşit olmalıdır:ac = c \implies c(a - 1) = 0
- g(x) doğrusal bir fonksiyon olduğundan c \neq 0 kabul edilir. Buradan:a = 1
- a = 1 olduğu için f(x) = x + b biçimindedir ve f(x) doğrusunun eğimi 1’dir.
Adım 2 — (f \circ g)(x) ve g(x) Fonksiyonlarının İncelenmesi
- (f \circ g)(x) = f(g(x)) = g(x) + b olur.
- f(x) ve (f \circ g)(x) doğrusal fonksiyonlarının her ikisi de verilen noktalardan geçtiği için eğimleri 1 olan paralel doğrulardır (c = 1).
- Bu durumda:f(x) = x + b_1(f \circ g)(x) = x + b_2
Adım 3 — g(x) Fonksiyonunun Kuralının Bulunması
- (f \circ g)(x) = f(g(x)) = g(x) + b_1 = x + b_2
- Buradan g(x) yalnız bırakılırsa:g(x) = x + b_2 - b_1
Adım 4 — (g \circ f)(x) Değerinin Hesaplanması
- (g \circ f)(x) = g(f(x)) ifadesinde f(x) = x + b_1 yerine yazılır:(g \circ f)(x) = g(x + b_1) = (x + b_1) + b_2 - b_1 = x + b_2
- Görüldüğü gibi b_1 terimleri sadeleşir ve (g \circ f)(x) = (f \circ g)(x) = x + b_2 elde edilir.
Adım 5 — (g \circ f)(8) Değerinin Bulunması
- Koordinat düzleminde verilen noktalardan geçen doğrulardan biri orijinden geçen y = x doğrusu (b_2 = 0) olduğunda:(g \circ f)(8) = 8 + 0 = 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Doğrusal Fonksiyonlar ve Paralellik
- Tanım: f(x) = mx + n biçimindeki fonksiyonların grafiği bir doğrudur. İki doğrunun kesişmemesi, eğimlerinin (m) eşit olması anlamına gelir.
- Bu problemde: (f \circ g)(x) ile g(x) fonksiyonlarının paralel olması, f(x) fonksiyonunun eğiminin 1 (f(x) = x + b) olmasını zorunlu kılmıştır.
2. Bileşke Fonksiyonun Yer Değiştirme Özelliği
- Tanım: Genel olarak f \circ g \neq g \circ f olsa da, eğimleri 1 olan öteleme fonksiyonlarında bileşke fonksiyonlar değişmeli (f \circ g = g \circ f) özellik gösterir.
- Bu problemde: f(x) = x + b_1 ve g(x) = x + d olduğundan (g \circ f)(x) = (f \circ g)(x) eşitliği sağlanmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Kesişmeme Şartını Gözden Kaçırmak
- Yanlış: Fonksiyonların eğimlerini farklı seçip denklemleri rastgele eşleştirmek.
- Doğru: İki doğrunun kesişmemesi için eğimlerinin mutlaka birbirine eşit olması gerektiği kuralını (ac = c \implies a = 1) baştan belirlemek.
- Neden yanlış: Eğimler farklı olursa doğrular mutlaka bir noktada kesişir ve soruda verilen şart sağlanmaz.
Benzer bir doğrusal fonksiyon ve analitik geometri sorusu oluşturup pratik yapmamızı ister misin?
Bana bu cevabı anlaşılır bir şekilde adım adım açıkla
Doğrusal Fonksiyonlarda Bileşke ve Grafiğin Adım Adım Açıklaması
KULLANILAN TEMEL KURALLAR:
- Doğrusal Fonksiyon Tanımı: f(x) = ax + b ve g(x) = cx + d şeklindedir (grafikleri birer doğrudur).
- Paralellik (Kesişmeme) Şartı: Analitik düzlemde iki doğrunun kesişmemesi için eğimlerinin eşit olması gerekir.
- Bileşke Fonksiyon: (f \circ g)(x) = f(g(x)) ve (g \circ f)(x) = g(f(x))
ADIM ADIM ÇÖZÜM:
Adım 1 — Grafiğin Kesişmeme Şartından f(x) Fonksiyonunun Eğimini Bulma
- g(x) = cx + d fonksiyonunun eğimi c’dir.
- (f \circ g)(x) = f(g(x)) = a(cx + d) + b = acx + ad + b fonksiyonunun eğimi ise ac’dir.
- Soruda (f \circ g)(x) ile g(x) grafiklerinin kesişmediği belirtilmiştir. İki doğrunun kesişmemesi paralel oldukları anlamına gelir:ac = c
- g(x) sabit olmayan doğrusal bir fonksiyon olduğundan c \neq 0’dır. Eşitliğin her iki tarafı c’ye bölündüğünde:a = 1
- Buradan f(x) fonksiyonunun denklemi f(x) = x + b olarak bulunur (x’in katsayısı 1’dir).
Adım 2 — (f \circ g)(x) ve (g \circ f)(x) Fonksiyonlarını İnceleme
- f(x) = x + b_1 olsun.
- (f \circ g)(x) = f(g(x)) = g(x) + b_1 olur.
- Şimdi (f \circ g)(x) ifadesine x + b_2 diyelim:g(x) + b_1 = x + b_2 \implies g(x) = x + b_2 - b_1
Adım 3 — (g \circ f)(x) Bileşkesini Oluşturma
- (g \circ f)(x) = g(f(x)) ifadesinde f(x) = x + b_1 fonksiyonunu g(x) içine yazalım:(g \circ f)(x) = (x + b_1) + b_2 - b_1
- Buradaki +b_1 ve -b_1 birbirini götürür:(g \circ f)(x) = x + b_2
- Bu sonuç bize (g \circ f)(x) ile (f \circ g)(x) fonksiyonlarının birbirine eşit olduğunu gösterir:(g \circ f)(x) = (f \circ g)(x)
Adım 4 — Grafikteki Noktaları Kullanarak (g \circ f)(8) Değerini Hesaplama
- f(x) ve (f \circ g)(x) doğrularının eğimleri 1 olduğundan, (f \circ g)(x) doğrusu koordinat sisteminde y = x doğrusu üzerindedir (b_2 = 0).
- Dolayısıyla kural:(g \circ f)(x) = x
- Bizden istenen x = 8 değeri yerine yazıldığında:(g \circ f)(8) = 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Doğruların Paralelliği
- Tanım: İki doğrunun kesişmemesi, eğimlerinin birbirine eşit olması (m_1 = m_2) anlamına gelir.
- Bu problemde: (f \circ g) ile g’nin eğimleri eşitlenerek f(x) fonksiyonunun x’li teriminin katsayısı (a = 1) bulunmuştur.
2. Değişme Özelliği İstisnası
- Tanım: Bileşke işleminde genel olarak f \circ g \neq g \circ f olur.
- Bu problemde: Fonksiyonların eğimleri 1 olduğunda (öteleme fonksiyonları) f \circ g = g \circ f eşitliği sağlanır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Kesişmeme Bilgisini Atlamak
- Yanlış: Fonksiyonların genel denklemlerini yazıp a katsayısını rastgele seçmek.
- Doğru: İki doğrunun kesişmemesi kuralını kullanarak ac = c \implies a = 1 eşitliğini kurmak.
- Neden yanlış: a = 1 eşitliği kurulmazsa b_1 ve b_2 sabitleri sadeleşmez ve sonuca ulaşılamaz.
Bu çözümün kafana takılan belirli bir adımı (örneğin eğimlerin eşitlenmesi veya bileşkenin sadeleşmesi) var mı, daha ayrıntılı açmamı ister misin?