F ve g birer doğrusal fonksiyon olmak üzere, bir takım noktalara ayrılmış aşağıdaki dik koordinat düzleminde bazı

Said_Guran · Ekim 14, 2026, 6:32ös

f ve g birer doğrusal fonksiyon olmak üzere, bir takım noktalara ayrılmış aşağıdaki dik koordinat düzleminde bazı noktalar verilmiştir.
(fog)(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafikleri birbirleriyle kesişmemekte olup f(x) ve (fog)(x) fonksiyonlarının grafiklerinden biri bu noktaların ikisinden, diğeri ise kalan iki noktadan geçmektedir.
Buna göre, (gof)(8) değeri kaçtır?
A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4

Akademik_Rehber · Ekim 14, 2026, 6:35ös

Doğrusal ve Bileşke Fonksiyonlar

KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

Doğrusal fonksiyonlar için eğim: m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
İki doğrunun kesişmemesi için paralel olmaları gerekir: m_1 = m_2 ve n_1 \neq n_2
Doğrusal fonksiyonların bileşkesinde eğimler çarpılır:
f(x) = m_f x + n_f \quad \text{ve} \quad g(x) = m_g x + n_g \implies m_{fog} = m_f \cdot m_g

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Grafikteki Noktaların Koordinatlarını Belirleme
Birim kareli dik koordinat düzleminde verilen 4 noktanın koordinatları eksenlere göre sayıldığında:

(3, 2)
(4, 1)
(5, 3)
(5, 4)

x = 5 apsisinde iki farklı nokta bulunduğundan, bir fonksiyon aynı apsiste iki farklı değere sahip olamaz. Bu nedenle (5, 3) ve (5, 4) noktaları farklı fonksiyonlara ait olmalıdır.

Adım 2 — Olası Doğruların Eğimlerini İnceleme
Noktaları ikişerli gruplandırarak doğruların eğimlerini bulalım:

1. Grup: (3, 2) ve (5, 4) noktalarından geçen doğru:

m_1 = \frac{4 - 2}{5 - 3} = \frac{2}{2} = 1

Doğrunun denklemi: y - 2 = 1 \cdot (x - 3) \implies y = x - 1
2. Grup: (4, 1) ve (5, 3) noktalarından geçen doğru:

m_2 = \frac{3 - 1}{5 - 4} = \frac{2}{1} = 2

Doğrunun denklemi: y - 1 = 2 \cdot (x - 4) \implies y = 2x - 7

Adım 3 — Kesişmeme Şartı ile f(x) Fonksiyonunu Belirleme
(f \circ g)(x) ile g(x) doğrusal fonksiyonlarının grafikleri kesişmediğine göre birbirine paraleldir. Dolayısıyla eğimleri eşit olmalıdır:

m_{fog} = m_g

Bileşke fonksiyonun eğim kuralından:

m_{fog} = m_f \cdot m_g \implies m_f \cdot m_g = m_g \implies m_g(m_f - 1) = 0

Grafikteki eğimler 1 ve 2 olduğundan fonksiyonlar sabit değildir (m_g \neq 0). Buradan:

m_f = 1

Eğimi 1 olan doğru f(x) fonksiyonuna ait olmalıdır:

f(x) = x - 1

Bu durumda diğer doğru (f \circ g)(x) olur:

(f \circ g)(x) = 2x - 7

Adım 4 — g(x) Fonksiyonunu Bulma
f(x) = x - 1 olduğuna göre bileşke fonksiyon:

(f \circ g)(x) = f(g(x)) = g(x) - 1

Bu ifadeyi (f \circ g)(x) = 2x - 7 denklemine eşitleyelim:

g(x) - 1 = 2x - 7 \implies g(x) = 2x - 6

(Sağlama: g(x) = 2x - 6 doğrusunun eğimi 2, (f \circ g)(x) = 2x - 7 doğrusunun eğimi 2’dir. Eğimleri eşit, sabitleri farklı olduğundan kesişmezler.)

Adım 5 — (g \circ f)(8) Değerini Hesaplama
İstenen değeri adım adım bulalım:

f(8) = 8 - 1 = 7

(g \circ f)(8) = g(f(8)) = g(7) = 2(7) - 6 = 14 - 6 = 8

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

TEMEL KAVRAMLAR:

Paralel Doğrular: Eğimleri birbirine eşit (m_1 = m_2) fakat y-eksenini kestikleri noktalar farklı (n_1 \neq n_2) olan doğrular kesişmez.
Bileşke Fonksiyonun Eğimi: İki doğrusal fonksiyonun bileşkesinin eğimi, o fonksiyonların eğimlerinin çarpımına eşittir.

SIK YAPILAN HATALAR:

Hatalı Yaklaşım: (f \circ g) ile g’nin kesişmemesini sadece denklemleri birbirine eşitleyip kök arayarak çözmeye çalışmak ve analitik geometrideki paralellik şartını (m_{fog} = m_g) atlamak.
Doğru Yaklaşım: İki doğrunun kesişmemesinin doğrudan eğim eşitliği (m_1 = m_2) anlamına geldiğini fark edip m_f \cdot m_g = m_g \implies m_f = 1 eşitliğini doğrudan yakalamak.

Bu soru tarzını pekiştirmek için benzer bir bileşke-analitik sorusu çözmek ister misin?

Said_Guran · Ekim 14, 2026, 6:39ös

Akademik_Rehber:

Doğrusal Fonksiyonlar ve Bileşke Fonksiyon Özellikleri

KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

Doğrusal fonksiyon denklemi: f(x) = ax + b ve g(x) = cx + d

Bileşke fonksiyon: (f \circ g)(x) = f(g(x)) = a(cx + d) + b = acx + ad + b

İki doğrunun kesişmemesi için eğimlerinin eşit ve y-kesenlerinin farklı (paralel) olması gerekir:
m_{(f \circ g)} = m_g \implies ac = c
Doğrusal fonksiyonlarda eğim sıfırdan farklı (c \neq 0) olduğundan:
a = 1 \quad \text{ve} \quad ad + b \neq d \implies b \neq 0
Bu durumda f(x) = x + b olup, f(x) doğrusunun eğimi daima 1 olmalıdır.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Grafikteki Noktaların Koordinatlarının Belirlenmesi
Dik koordinat düzlemindeki birim kareler incelendiğinde verilen 4 noktanın koordinatları:

A(1, 2)

B(2, 4)

$

@Akademik_Rehber Bana bu cevabı anlaşılır bir şekilde adım adım açıkla

Akademik_Rehber · Ekim 14, 2026, 6:40ös

Doğrusal Fonksiyonlar ve Grafik Analizi

KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

Doğrunun Eğimi: İki noktası (x_1, y_1) ve (x_2, y_2) bilinen doğrunun eğimi:
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
Paralellik (Kesişmeme) Şartı: İki doğrunun kesişmemesi için paralel olmaları, yani eğimlerinin eşit olması gerekir:
m_1 = m_2
Bileşke Fonksiyonun Eğimi: f(x) = m_f x + n_f ve g(x) = m_g x + n_g ise:
(f \circ g)(x) = m_f(m_g x + n_g) + n_f = (m_f \cdot m_g)x + (m_f \cdot n_g + n_f)
Bileşkenin eğimi: m_{fog} = m_f \cdot m_g

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Grafikteki 4 Noktanın Koordinatlarını Okuma
Birim kareli dik koordinat sisteminde eksenler baz alınarak noktaların koordinatları sayıldığında:

A(3, 2)
B(4, 1)
C(5, 3)
D(5, 4)

Önemli İpucu: C(5, 3) ve D(5, 4) noktalarının apsisleri (x = 5) aynıdır. Bir fonksiyon aynı x değeri için iki farklı y değeri alamaz (dikey doğru testi). Bu nedenle bu iki nokta kesinlikle farklı fonksiyonların üzerindedir.

Adım 2 — Kesişmeme Şartından f(x)'in Eğimini Keşfetme
Soruda (f \circ g)(x) ile g(x) grafiklerinin kesişmediği belirtilmiştir. İki doğrusal fonksiyonun kesişmemesi, bu doğruların birbirine paralel olması demektir:

m_{fog} = m_g

Bileşke fonksiyonun eğim kuralını yerine koyalım:

m_f \cdot m_g = m_g

m_g \neq 0 olduğuna göre her iki tarafı m_g’ye bölersek:

m_f = 1

Bu kritik bilgi bize şunu söyler: f(x) doğrusunun eğimi kesinlikle 1 olmalıdır.

Adım 3 — Noktaları Eşleştirme ve Denklemleri Kurma
Verilen 4 noktadan eğimi 1 olan bir doğru oluşturalım:

A(3, 2) ve D(5, 4) noktalarını seçtiğimizde:

m = \frac{4 - 2}{5 - 3} = \frac{2}{2} = 1

Eğim 1 çıktığı için bu iki nokta f(x) fonksiyonuna aittir!
- f(x) denklemi:
  y - 2 = 1 \cdot (x - 3) \implies f(x) = x - 1
Geriye kalan iki nokta olan B(4, 1) ve C(5, 3) ise (f \circ g)(x) fonksiyonuna aittir:

m_{fog} = \frac{3 - 1}{5 - 4} = \frac{2}{1} = 2
- (f \circ g)(x) denklemi:
  y - 1 = 2 \cdot (x - 4) \implies (f \circ g)(x) = 2x - 7

Adım 4 — g(x) Fonksiyonunu Bulma
f(x) = x - 1 olduğunu biliyoruz. Bileşke tanımını uygulayalım:

(f \circ g)(x) = f(g(x)) = g(x) - 1

Bu ifadeyi bulduğumuz (f \circ g)(x) = 2x - 7 denklemine eşitleyelim:

g(x) - 1 = 2x - 7 \implies g(x) = 2x - 6

(Sağlama: g(x)'in eğimi 2, (f \circ g)(x)'in eğimi de 2’dir. Eğimleri eşit, sabitleri farklı olduğu için kesişmezler; kural doğrulanmış oldu.)

Adım 5 — (g \circ f)(8) Değerini Hesaplama
Bileşke işleminde içeriden dışarıya doğru ilerleyelim:

(g \circ f)(8) = g(f(8))

Önce f(8) değerini bulalım:
f(8) = 8 - 1 = 7
Şimdi g(7) değerini bulalım:
g(7) = 2(7) - 6 = 14 - 6 = 8

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

TEMEL KAVRAMLAR:

Doğruların Kesişmemesi: Analitik geometride iki doğrunun kesişmemesi, eğimlerinin eşit (m_1 = m_2) ve sabitlerinin farklı olması anlamına gelir.
Bileşke Fonksiyon Eğimi: f ve g doğrusal ise bileşkelerinin eğimi, kendi eğimlerinin çarpımıdır (m_{fog} = m_f \cdot m_g).

SIK YAPILAN HATALAR:

Hatalı Yaklaşım: Eksenleri yanlış sayıp (5,3) ile (5,4) noktalarını aynı doğrunun üzerine koymaya çalışmak (bu durum bir fonksiyon grafiği belirtmez).
Doğru Yaklaşım: Dikey doğru testini hatırlayarak aynı apsise sahip noktaları farklı doğrulara paylaştırmak ve paralellik şartından m_f = 1 eşitliğini yakalamak.

Bu çözüm mantığında aklına takılan veya bir kez daha üzerinden geçmemizi istediğin bir adım var mı?