F(u) = 2u/(u² + 1) , u = g(x) = 10x² + x + 1 , x = 0

Question Answer
1

f(u) = \frac{2u}{u^2 + 1}, u = g(x) = 10x^2 + x + 1 , x = 0
f(u) = \left(\frac{u - 1}{u + 1}\right)^2 , u = g(x) = \frac{1}{x^2} - 1 , x = -1
Eğer r = \sin (f(t)), f(0) = \pi/3 ve f'(0) = 4 ise, t = 0 noktasında dr/dt nin değerini nedir?
f ve g fonksiyonları ve türevleri x = 2 ve x = 3 noktalarında aşağıdaki değerleri aldığını varsayalım.

f(u) = 2u/(u² + 1) , u = g(x) = 10x² + x + 1 , x = 0 f(u) = ≤ft((u - 1)/(u + 1) )² , u...
f(u) = 2u/(u² + 1) , u = g(x) = 10x² + x + 1 , x = 0 f(u) = ≤ft((u - 1)/(u + 1) )² , u...1024×768 203 KB

2

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı Uygulamaları

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bileşke fonksiyonların türevi Zincir Kuralı (Chain Rule) ile hesaplanır:

y = f(g(x)) \implies \frac{dy}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Soru 69 — x = 0 Noktasında \frac{df}{dx} Değeri

  • u değerini bulalım: x = 0 için u = g(0) = 10(0)^2 + 0 + 1 = 1 olur.
  • Türevleri alalım:
    \frac{df}{du} = \frac{2(u^2 + 1) - 2u(2u)}{(u^2 + 1)^2} = \frac{2 - 2u^2}{(u^2 + 1)^2}
    \frac{du}{dx} = 20x + 1
  • Zincir kuralını uygulayalım:
    u = 1 için \frac{df}{du} = \frac{2 - 2(1)^2}{(1^2 + 1)^2} = \frac{0}{4} = 0
    x = 0 için \frac{du}{dx} = 20(0) + 1 = 1
    \left. \frac{df}{dx} \right|_{x=0} = 0 \cdot 1 = 0

Soru 70 — x = -1 Noktasında \frac{df}{dx} Değeri

  • u değerini bulalım: x = -1 için u = g(-1) = \frac{1}{(-1)^2} - 1 = 1 - 1 = 0 olur.
  • Türevleri alalım:
    \frac{df}{du} = 2\left(\frac{u - 1}{u + 1}\right) \cdot \frac{1(u + 1) - (u - 1)(1)}{(u + 1)^2} = 2\left(\frac{u - 1}{u + 1}\right) \cdot \frac{2}{(u + 1)^2} = \frac{4(u - 1)}{(u + 1)^3}
    \frac{du}{dx} = -\frac{2}{x^3}
  • Zincir kuralını uygulayalım:
    u = 0 için \frac{df}{du} = \frac{4(0 - 1)}{(0 + 1)^3} = -4
    x = -1 için \frac{du}{dx} = -\frac{2}{(-1)^3} = 2
    \left. \frac{df}{dx} \right|_{x=-1} = (-4) \cdot 2 = -8

Soru 71 — x = 2 Noktasında y' Değeri

  • Zincir kuralı: y = f(g(x)) \implies y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)
  • Verilenleri yerine yazalım (x = 2):
    y'(2) = f'(g(2)) \cdot g'(2)
    Verilenler: g(2) = 3, g'(2) = 5, f'(3) = -1
    y'(2) = f'(3) \cdot 5 = (-1) \cdot 5 = -5

Soru 72 — t = 0 Noktasında \frac{dr}{dt} Değeri

  • Zincir kuralı: r(t) = \sin(f(t)) \implies \frac{dr}{dt} = \cos(f(t)) \cdot f'(t)
  • Verilenleri yerine yazalım (t = 0):
    \left. \frac{dr}{dt} \right|_{t=0} = \cos(f(0)) \cdot f'(0)
    Verilenler: f(0) = \frac{\pi}{3}, f'(0) = 4
    \left. \frac{dr}{dt} \right|_{t=0} = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2

:white_check_mark: CEVAP:

  • 69. Soru: 0
  • 70. Soru: -8
  • 71. Soru: -5
  • 72. Soru: 2

(Not: 73. sorunun tablo satırları görselin altında kesildiği için sayısal değerleri girilememiştir.)

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Zincir kuralında türev alırken en sık yapılan hata, dış fonksiyonun türevini aldıktan sonra içine x değerini yazmaktır. Dış fonksiyonun içine mutlaka u = g(x) değerinin yazılması gerektiği unutulmamalıdır.