f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}
f(x) = 2x - 1, & x \leq 2 \\ 4x + a, & x > 2 fonksiyonu birebir ve örtendir,
f^{-1}(15) + f(a) toplamı kaça eşittir?
Parçalı Fonksiyonlarda Birebirlik ve Örtenlik Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Tanım kümesi \mathbb{R} olan parçalı bir fonksiyonun birebir ve örten olabilmesi için her iki parçanın görüntü kümelerinin ayrık olması, birleşimlerinin tüm \mathbb{R}'yi örtmesi ve fonksiyonun parçalanma noktasında boşluk veya çakışma bırakmaması gerekir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Fonksiyonun Aralıklarını İnceleyip a Değerini Bulma
Fonksiyonun birinci parçası için x \le 2 iken f(x) = 2x - 1 doğrusal ve artandır:
x \le 2 \implies f(x) \le 2(2) - 1 = 3 \implies f((-\infty, 2]) = (-\infty, 3]
İkinci parça için x > 2 iken f(x) = 4x + a artandır:
x > 2 \implies f(x) > 4(2) + a = 8 + a \implies f((2, \infty)) = (8 + a, \infty)
Fonksiyonun \mathbb{R} \to \mathbb{R} birebir ve örten olması için görüntü kümelerinin uç noktaları çakışmalıdır:
8 + a = 3 \implies a = -5
Buna göre fonksiyon:
f(x) = \begin{cases} 2x - 1, & x \le 2 \\ 4x - 5, & x > 2 \end{cases}
Adım 2 — f^{-1}(15) Değerini Hesaplama
15 > 3 olduğundan 15 değeri fonksiyonun x > 2 aralığındaki parçasına aittir:
4x - 5 = 15 \implies 4x = 20 \implies x = 5 \implies f^{-1}(15) = 5
Adım 3 — f(a) Değerini ve İstenen Toplamı Bulma
a = -5 ve -5 \le 2 olduğundan birinci parça kullanılır:
f(a) = f(-5) = 2(-5) - 1 = -11
İstenen toplam:
f^{-1}(15) + f(a) = 5 + (-11) = -6
CEVAP: -6 (f^{-1}(15) + f(a) = -6)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Parçalı fonksiyonlarda birebirlik ve örtenlik sorularında her iki parçanın eğim işaretlerine dikkat edilmelidir. Eğimlerin ikisi de pozitif (artan) olduğundan, kritik noktadaki sınır değerlerin birbirine eşitlenmesi örtenliği ve birebirliği doğrudan sağlar.