f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+
f(x) = 2^{3-x}
fonksiyonu için
I. Azalandır.
II. Birebirdir.
III. En küçük değeri 1’dir.
ifadelerinden hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) I ve II
C) I ve III
D) II ve III
E) I, II ve III
f(x) = 2^{3-x} Fonksiyonunun Özelliklerinin İncelenmesi
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Üstel fonksiyon: f(x) = a^{g(x)} biçimindeki fonksiyonlarda taban a > 1 iken üs g(x) azaldıkça fonksiyonun değeri azalır.
- Birebirlik tanımı: Tanım kümesindeki her farklı elemanın görüntüsü de farklı olmalıdır (x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)).
- Üstel fonksiyonların görüntü kümesi: a > 0 ve a \neq 1 olmak üzere f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+ fonksiyonu için görüntü kümesi (0, \infty) aralığıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Fonksiyonun Düzenlenmesi
Verilen fonksiyonu üslü sayı kurallarını kullanarak yazalım:
f(x) = 2^{3-x} = \frac{2^3}{2^x} = 8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x
Adım 2 — I. Öncülün İncelenmesi (Azalanlık)
- x değerleri arttıkça 3-x ifadesi küçülür.
- Tabanı 2 > 1 olduğundan, üs küçüldükçe 2^{3-x} ifadesinin değeri de küçülür.
- Alternatif olarak, tabanı \frac{1}{2} olan üstel fonksiyonlarda 0 < \frac{1}{2} < 1 olduğundan fonksiyon azalandır.
- Dolayısıyla I. ifade DOĞRUDUR.
Adım 3 — II. Öncülün İncelenmesi (Birebirlik)
- f(x_1) = f(x_2) eşitliğini kuralım:2^{3-x_1} = 2^{3-x_2}
- Tabanlar eşit ve pozitif (2 \neq 1) olduğundan üsler de birbirine eşit olmalıdır:3 - x_1 = 3 - x_2 \implies x_1 = x_2
- Tanım kümesindeki her farklı x değeri farklı bir f(x) değerine gittiği için fonksiyon birebirdir.
- Dolayısıyla II. ifade DOĞRUDUR.
Adım 4 — III. Öncülün İncelenmesi (En Küçük Değer)
- f(x) fonksiyonunda x yerine 1’den büyük değerler verelim:x = 3 \implies f(3) = 2^{3-3} = 2^0 = 1x = 4 \implies f(4) = 2^{3-4} = 2^{-1} = \frac{1}{2}x = 5 \implies f(5) = 2^{3-5} = 2^{-2} = \frac{1}{4}
- Görüldüğü gibi \frac{1}{2} < 1 ve \frac{1}{4} < 1 olduğundan fonksiyonun aldığı değerler 1’in altına inebilmektedir. Fonksiyonun görüntü kümesi (0, \infty) olup en küçük (minimum) bir değeri yoktur (x \to \infty iken f(x) \to 0 olur ama asla 0 olmaz).
- Dolayısıyla III. ifade YANLIŞTIR.
Adım 5 — Seçenek Karşılaştırması
A) Yalnız I — II. öncül de doğru olduğu için yetersizdir.
B) I ve II — I ve II doğru, III yanlıştır.
C) I ve III — III. öncül yanlıştır.
D) II ve III — III. öncül yanlıştır.
E) I, II ve III — III. öncül yanlıştır.
Adım 6 — Son Doğrulama
Fonksiyon tabanı 0 < \frac{1}{2} < 1 olan bir üstel azalan fonksiyondur, kesin azalan olduğu için birebirdir ve x > 3 için değerler 1’den küçük pozitif reel sayılar aldığı için en küçük değeri 1 olamaz.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) I ve II
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Üstel Fonksiyon (f(x) = a^x)
- Tanım: a > 0 ve a \neq 1 olmak üzere f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+ tanımlı fonksiyondur. 0 < a < 1 ise kesin azalan, a > 1 ise kesin artandır.
- Bu problemde: f(x) = 8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x biçiminde tabanı \frac{1}{2} olduğu için azalandır.
2. Birebirlik
- Tanım: Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde yalnız ve farklı bir görüntüye sahip olması durumudur.
- Bu problemde: Kesin azalan tüm sürekli fonksiyonlar birebirdir.
SIK YAPILAN HATALAR:
x=3 Yazıp En Küçük Değerin 1 Olduğunu Varsaymak
- Yanlış: 3-x=0 \implies x=3 için 2^0=1 bulunur ve üssü 0 yapan değerin en küçük sonuç verdiği düşünülür.
- Doğru: Üs negatif reel sayılar da alabildiği için (x=4 için 2^{-1}=\frac{1}{2}), üstel fonksiyon 0’a kadar sonsuz küçülür.
- Neden Yanlış: Üslü sayılarda negatif üs sayıyı negatif yapmaz, ters çevirir (2^{-n} = \frac{1}{2^n} > 0). Bu nedenle fonksiyon 1’den çok daha küçük pozitif kesir değerleri alabilir.
Benzer tipte bir üstel fonksiyon veya logaritma sorusuyla pratik yapmak ister misin?