f: mathbb{Z} - \{0\} to mathbb{R} - \{0\} olmak üzere
f(x) + 3.f\left(\frac{1}{x}\right) = 8x
denklemini sağlayan f(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A) \frac{1}{x} + x
B) \frac{2}{x} - x
C) \frac{3}{x} + x
D) \frac{4}{x} + x
E) \frac{3}{x} - x
Fonksiyonel Denklemlerde Değişken Değiştirme Yöntemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: İçerisinde f(x) ve f\left(\frac{1}{x}\right) terimleri bulunan fonksiyonel denklemlerde, x yerine \frac{1}{x} yazılarak iki bilinmeyenli bir denklem sistemi elde edilir ve yok etme yöntemi kullanılarak doğrudan f(x) fonksiyonuna ulaşılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Verilen Denklemi Belirleme ve Değişken Dönüşümü Yapma
Soru kökünde verilen ilk eşitliği yazalım ve x yerine \frac{1}{x} yazarak ikinci bir bağıntı kuralım:
(1) \quad f(x) + 3f\left(\frac{1}{x}\right) = 8x
(2) \quad f\left(\frac{1}{x}\right) + 3f(x) = \frac{8}{x}
Adım 2 — f\left(\frac{1}{x}\right) Terimini Yok Etmek İçin Sistemi Genişletme
f(x) fonksiyonunu yalnız bırakmak amacıyla (2) numaralı denklemin her iki tarafını 3 ile çarpalım:
3 \cdot \left[f\left(\frac{1}{x}\right) + 3f(x)\right] = 3 \cdot \frac{8}{x} \implies 9f(x) + 3f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{24}{x}
Adım 3 — Denklemleri Taraf Tarafa Çıkararak f(x) Fonksiyonunu Bulma
Genişlettiğimiz denklemden (1) numaralı denklemi taraf tarafa çıkaralım:
\left[9f(x) + 3f\left(\frac{1}{x}\right)\right] - \left[f(x) + 3f\left(\frac{1}{x}\right)\right] = \frac{24}{x} - 8x
8f(x) = \frac{24}{x} - 8x
Her iki tarafı 8’e böldüğümüzde:
f(x) = \frac{3}{x} - x
CEVAP: E) \frac{3}{x} - x
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bu tarz sorularda seçenekleri test etmek için x = 1 gibi pratik değerler seçebilirsiniz. x = 1 için f(1) + 3f(1) = 8 \implies 4f(1) = 8 \implies f(1) = 2 olmalıdır. Seçeneklerde x = 1 yazıldığında 2 sonucunu veren şıklar kontrol edilerek işlem teyit edilebilir.