f: mathbb{R}^+ to mathbb{R}^+ olmak üzere,
f^2(x) = x^2 + x + 2
olduğuna göre, \frac{f''(1)}{f'(1)} oranı kaçtır?
A) \frac{3}{4}
B) \frac{7}{12}
C) \frac{7}{24}
D) \frac{1}{12}
E) \frac{1}{16}
Kapalı Fonksiyon ve Zincir Kuralı ile İkinci Mertebeden Türev Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir fonksiyonun kuvvetinin türevinde zincir kuralı \frac{d}{dx}[f(x)^2] = 2f(x)f'(x) uygulanır. İkinci türeve ulaşmak için elde edilen eşitliğin her iki tarafına çarpımın türevi kuralı [u \cdot v]' = u'v + uv' tatbik edilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — f(1) Değerinin Bulunması
Verilen f^2(x) = x^2 + x + 2 eşitliğinde x = 1 yazalım. Fonksiyonun değer kümesi \mathbb{R}^+ olduğundan pozitif kök alınır:
f^2(1) = 1^2 + 1 + 2 = 4 \implies f(1) = 2
Adım 2 — Birinci Türevin Alınması ve f'(1) Değerinin Hesaplanması
Eşitliğin her iki tarafının x’e göre birinci mertebeden türevi alınır:
\frac{d}{dx}[f^2(x)] = \frac{d}{dx}[x^2 + x + 2] \implies 2f(x) \cdot f'(x) = 2x + 1
x = 1 değeri yerine konularak f'(1) çekilir:
2 \cdot f(1) \cdot f'(1) = 2(1) + 1 \implies 2 \cdot 2 \cdot f'(1) = 3 \implies f'(1) = \frac{3}{4}
Adım 3 — İkinci Türevin Alınması ve f''(1) Değerinin Hesaplanması
2f(x)f'(x) = 2x + 1 eşitliğinde her iki taraf 2’ye bölünürse f(x)f'(x) = x + \frac{1}{2} elde edilir. Her iki tarafın tekrar türevi alınır:
[f'(x)]^2 + f(x) \cdot f''(x) = 1
x = 1 için bulunan değerler denklemde yerine yazılır:
\left(\frac{3}{4}\right)^2 + 2 \cdot f''(1) = 1 \implies \frac{9}{16} + 2f''(1) = 1
2f''(1) = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} \implies f''(1) = \frac{7}{32}
Adım 4 — İstenen Oranın Hesaplanması
Bulunan türev değerleri oranlanır:
\frac{f''(1)}{f'(1)} = \frac{\frac{7}{32}}{\frac{3}{4}} = \frac{7}{32} \cdot \frac{4}{3} = \frac{7}{24}
CEVAP: C) \frac{7}{24} \left(\frac{f''(1)}{f'(1)} = \frac{7}{24}\right)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: f(x) = \sqrt{x^2+x+2} şeklinde köklü fonksiyon olarak türev almak yerine, kapalı biçimde f^2(x) üzerinden türev almak işlem hatası riskini azaltır ve süreden tasarruf sağlar. İkinci türev alınırken [f(x) \cdot f'(x)]' ifadesinde çarpım kuralının unutulmaması kritik önem taşır.