f: mathbb{R} to mathbb{R} olmak üzere,
f(x) + 2 dot f(6 - x) = x
olduğuna göre, f(1) kaçtır?
A) -1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Fonksiyon Denklemlerinde Değişken Değiştirme ve Denklem Sistemi Çözümü
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Verilen fonksiyonel denklemde aranan değeri bulmak için ilgili değer ve onun simetriği yerine konularak iki bilinmeyenli birinci dereceden denklem sistemi elde edilir ve yok etme yöntemiyle sonuca ulaşılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — x = 1 Değerini Yazma
Verilen f(x) + 2 \cdot f(6 - x) = x denkleminde x = 1 yazarak f(1) ve f(5) arasındaki ilk eşitliği kuralım:
f(1) + 2 \cdot f(5) = 1 \quad \text{--- (1. Denklem)}
Adım 2 — x = 5 Değerini Yazma
Denklemdeki diğer bilinmeyen olan f(5)'i bağlamak için bu kez x = 5 yazalım:
f(5) + 2 \cdot f(1) = 5 \implies f(5) = 5 - 2 \cdot f(1) \quad \text{--- (2. Denklem)}
Adım 3 — Yerine Koyma Yöntemi ile f(1) Değerini Bulma
2. denklemde elde ettiğimiz f(5) ifadesini 1. denklemde yerine yazalım:
f(1) + 2 \cdot \big(5 - 2 \cdot f(1)\big) = 1
f(1) + 10 - 4 \cdot f(1) = 1
-3 \cdot f(1) = -9 \implies f(1) = 3
CEVAP: C) 3 (f(1) = 3)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bu tarz simetrik fonksiyon denklemlerinde (x ve a - x içeren ifadeler), x yerine sırasıyla sorulan değer (1) ve eşlenik değeri (6 - 1 = 5) yazılarak iki bilinmeyenli basit bir denklem sistemi oluşturulur. Genellikle genel fonksiyon kuralını f(x) bulmaya gerek kalmadan doğrudan sonuca ulaşılır.