!17673738463154896923905556717499|375x500 [Link Silindi]
Kitap Sorusu Cevabı
- Kitap genişliği 15 br’den az ve tam sayı.
- Rafın A bölümünde 144 br, B bölümünde 256 br uzunluk var.
- Kitap sayıları tam sayılar ve raf uzunlukları kitap genişliğinin tam katları.
Öncelikle kitap genişliğini x br olarak alalım, 1 \leq x < 15 ve x \in \mathbb{Z}.
A bölümünde kitap sayısı = \frac{144}{x}
B bölümünde kitap sayısı = \frac{256}{x}
Kitap sayıları tam sayı olduğundan x hem 144’ün hem de 256’nın tam böleni olmalıdır.
144 ve 256’nın ortak bölenlerini bulalım:
144 = 2^4 \times 3^2
256 = 2^8
Ortak bölenler sadece 2^k formundadır, k \leq 4 (çünkü 144’de 2^4 var).
Ortak bölenler: 1, 2, 4, 8, 16 (16 >15 olduğu için hariç tutarız)
Ortak bölenler (15’ten küçük tam sayılar): 1, 2, 4, 8
Şimdi bu olası kitap genişliklerine göre A ve B’deki kitap sayılarının farkını hesaplayalım:
| Kitap Genişliği x | A kitap sayısı \frac{144}{x} | B kitap sayısı \frac{256}{x} | Fark (B - A) |
|---|---|---|---|
| 1 | 144 | 256 | 112 |
| 2 | 72 | 128 | 56 |
| 4 | 36 | 64 | 28 |
| 8 | 18 | 32 | 14 |
Farkın en az olması için en büyük ortak bölen (15’ten küçük olan 8) seçilir.
Sonuç olarak, B bölümündeki kitap sayısı, A bölümündeki kitap sayısından en az 14 fazladır.
İçindekiler
Kitap Genişliği ve Evrensel Katlar
Kitap genişliği x tam sayı olarak alınmıştır ve 15’ten küçüktür. Kitap sayısını hesaplamak için raf uzunluğu, kitap genişliğine bölünür. Kitap sayıları tam olmalı, dolayısıyla kitap genişliği raf uzunluğunun tam böleni olmalıdır.
Ortak Bölenlerin Belirlenmesi
144 ve 256’nın asal çarpanlarına ayrılması:
- 144 = 2^4 \times 3^2
- 256 = 2^8
Ortak bölenler 2^k (k en fazla 4) formundadır. 15’ten küçük olan ortak bölenler: 1, 2, 4, 8
Fark Hesabı ve Sonuç
Her olası kitap genişliği için A ve B bölümlerindeki kitap sayıları hesaplanır ve fark bulunur. En küçük fark x=8 için 14 bulunur.
Özet Tablo
| Kriter | Değer |
|---|---|
| Kitap genişliği | 1, 2, 4, 8 (tam sayı <15) |
| A uzunluğu | 144 br |
| B uzunluğu | 256 br |
| Kitap sayısı A | 144 / x |
| Kitap sayısı B | 256 / x |
| En küçük fark | 14 (x=8 için) |
Sık Sorulan Sorular (SSS)
1. Kitap genişliği neden 15’ten küçük olmalı?
Kitap genişliği soruda 15 br’den az ve tam sayı olarak verilmiştir.
2. Kitap sayıları neden tam sayı olmalı?
Kitaplar tam olarak yerleştirildiğinden, kitap sayısı tam sayı olmak zorundadır.
3. Ortak bölenler nasıl bulunur?
Asal çarpanlara ayırma yapılarak ortak kuvvetler belirlenir.
Kitap sayılarının farkını anlamak ister misiniz? Size benzer bir problem için pratik sorular hazırlayabilirim. İsterseniz söyleyin!
**(f) Kart yerleşimine göre tavan–taban uzaklığı en az kaç cm’dir ve
(g) B bölümü kitap sayısı, A bölümünden en az kaç fazladır?**
Önemli Noktalar
- Kartların dikdörtgen boyutları 16 cm × 20 cm, köşelere yerleşimlerinde yatay/paralel kenar uzunluğu 20 cm, kalınlık 16 cm olur.
- Boşluk genişliği yatayda 20 cm; dikeyde tavan–taban mesafesi kart kalınlıklarının toplamı olan 20 + 16 = 36 cm’dir.
- Kitap problemi için kitap genişliği w, 144 ve 256’yı bölen, w < 15 tam sayı; B–A farkı = (256–144)/w = 112/w, en küçük 14 olur.
Tavan ile taban arasındaki uzaklık en az 36 cm; B bölümündeki kitap sayısı A bölümünden en az 14 fazladır.
İçindekiler
Kart Problemi Çözümü
Dört kart, köşelere yerleştirilip çerçeveyi oluşturmak için:
- Sol alt kart: dikey (16 cm yatay, 20 cm düşey).
- Sağ alt kart: yatay (20 cm yatay, 16 cm düşey).
- Sol üst kart: yatay, Sağ üst kart: dikey.
Yerel koordinatlarla üst üste gelmeme koşulları:
\begin{cases}
16 \le W - 20,\\
20 \le H - 16
\end{cases}
\quad\Longrightarrow\quad
W\ge 36,\; H\ge 36.
Ayrıca yatay boşluk (alt kartlar arası) zaten 20 cm verilmiş; bu durumda
$$W=16+20+20=56\text{ cm},\quad H_{\min}=36\text{ cm}.$$
Kitap Problemi Çözümü
Raf genişlikleri A = 144 br, B = 256 br. Kitap genişliği (w<15) tam sayı, her iki genişliği de tam bölmeli:
$$w\mid\gcd(144,256)=16\quad\Longrightarrow\quad w\in{1,2,4,8}.$$
Kitap sayıları:
[
n_A=\frac{144}{w},\quad n_B=\frac{256}{w},\quad
n_B-n_A=\frac{256-144}{w}=\frac{112}{w}.
]
En küçük fark için (w) en büyük değer, yani (w=8) seçilir:
[
n_B-n_A=\frac{112}{8}=14.
]
Özet Tablosu
| Parametre | Sonuç |
|---|---|
| Tavan–taban uzaklığı | 36 cm |
| B–A kitap sayısı farkı | 14 adet |
SSS
- Tavan–taban uzaklığını 36 cm’nin altına çekmek mümkün mü?
Kartların boyut ve yerleşim kısıtlarıyla en küçük toplam yükseklik 36 cm’dir. - Kitap genişliği olarak 16 br seçilemez mi?
Soru w < 15 diyor, 16 kullanılamaz. - w’nin diğer olası değerleri nelerdir?
1, 2, 4, 8; bunlar 144 ve 256’yı böler. - Farkı büyütmek istersek hangi w tercih edilmeli?
w=1 iken fark =112; azaldıkça fark artar.
Başka geometri veya bölünebilme sorularından örnek çözmemi ister misiniz?
@Nurcan14