(f irc g)(1) = (f irc h)(1) = (g irc h)(1)
olduğuna göre
a = (g irc f)(1)
b = (h irc f)(1)
c = (h irc g)(1)
sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
A) a < b < c
B) a < c < b
C) b < a < c
Fonksiyon Grafikleri ve Bileşke Fonksiyon Sıralaması
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Doğrusal (birebir) fonksiyonlarda: f(u) = f(v) \iff u = v
- Bileşke fonksiyon tanımı: (f \circ g)(x) = f(g(x))
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Grafikten f, g ve h Fonksiyonlarını Eşleştirme
Grafikte x = 1 noktasına baktığımızda:
- Kırmızı ve siyah doğruların y değerleri birbirine eşittir: Bu ortak değere k (0 < k < 1) diyelim.
- Mavi doğru ise x eksenini kesmektedir, yani değeri 0’dır.
Verilen eşitliğe göre:
(f \circ g)(1) = (f \circ h)(1) \implies f(g(1)) = f(h(1))
Grafikteki fonksiyonlar doğrusal (birebir) olduğundan:
g(1) = h(1)
olmalıdır. x = 1 noktasında değerleri eşit olan fonksiyonlar kırmızı ve siyah doğrular olduğundan:
- g(1) = h(1) = k
- Değeri 0 olan mavi doğru ise f(x) fonksiyonudur (f(1) = 0).
Adım 2 — Kırmızı ve Siyah Fonksiyonları Ayırt Etme
Verilen eşitliğin ikinci kısmını kullanalım:
(f \circ g)(1) = (g \circ h)(1) \implies f(g(1)) = g(h(1))
g(1) = k ve h(1) = k olduğunu bildiğimiz için:
f(k) = g(k)
Bu eşitlik, f(x) ile g(x) fonksiyonlarının x = k apsisli noktada kesiştiğini gösterir.
- Mavi doğru (f) ile yalnızca siyah doğru (0, 1) aralığında kesişmektedir. Dolayısıyla siyah doğru g(x), kırmızı doğru ise h(x) fonksiyonudur.
Adım 3 — İstenen a, b, c Değerlerini Hesaplama ve Sıralama
f(1) = 0 ve g(1) = h(1) = k değerlerini yerine yazalım:
- a = (g \circ f)(1) = g(f(1)) = g(0) \rightarrow (Siyah doğrunun y eksenini kestiği nokta)
- b = (h \circ f)(1) = h(f(1)) = h(0) \rightarrow (Kırmızı doğrunun y eksenini kestiği nokta)
- c = (h \circ g)(1) = h(g(1)) = h(k) \rightarrow (Kırmızı doğrunun x = k noktasındaki değeri)
Grafikten bu değerlerin düşey eksendeki (y) konumlarını karşılaştıralım:
- g(0), grafiğin y eksenindeki en alt noktasıdır (a en küçüktür).
- h(x) (kırmızı doğru) azalan bir fonksiyon olduğundan ve 0 < k < 1 aralığında yer aldığından:h(1) < h(k) < h(0)Buradan c < b olduğu görülür.
- Ayrıca h(k) > k > g(0) olduğundan a < c olur.
Bu durumda sıralama:
a < c < b
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) a < c < b
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Birebirlik ve Bileşke: Grafiği verilen doğrusal fonksiyonlar birebir olduğundan, f(g(1)) = f(h(1)) eşitliğinden doğrudan g(1) = h(1) sonucuna ulaşılır.
- Kesişim Noktası: f(k) = g(k) ifadesi, bu iki fonksiyon grafiğinin x = k apsisinde kesiştiği anlamına gelir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Fonksiyonların kurallarını (y = mx + n) bulmaya çalışarak vakit kaybetmek.- Doğru Yaklaşım: x = 1 ve x = 0 gibi sınır noktalarındaki bariz geometrik konumları (kesişim ve eksenleri kesme noktaları) kullanarak doğrudan değer analizi yapmak.
Benzer bir bileşke fonksiyon ve grafik yorumlama sorusu çözerek konuyu pekiştirmek ister misiniz?