F ile g bire bir ve örten iki fonksiyon olmak üzere,

Question Answer
1

f ile g bire bir ve örten iki fonksiyon olmak üzere,

  • g^{-1}(x) = f(x)
  • g(f(x)) = f(2x) + 4
    bilgileri veriliyor.
    Buna göre, g^{-1}(1) değeri kaçtır?
    A) 4
    B) 2
    C) \frac{1}{2}
    D) -1
    E) -2

f ile g bire bir ve örten iki fonksiyon olmak üzere, g-¹(x) = f(x) g(f(x)) = f(2x) +...
f ile g bire bir ve örten iki fonksiyon olmak üzere, g-¹(x) = f(x) g(f(x)) = f(2x) +...1024×768 141 KB

2

Bileşke Fonksiyon ve Ters Fonksiyonun Türevi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir fonksiyon ile tersinin bileşkesi birim fonksiyondur: g(g^{-1}(x)) = x. Buradan g^{-1}(x) = f(x) ise g(f(x)) = x olur. Doğrusal bir fonksiyonun tersi de doğrusaldır ve türevi eğimine eşittir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — f(x) Fonksiyonunun Kuralını Bulma
Soruda g^{-1}(x) = f(x) olarak verilmiştir. Her iki tarafın soluna g fonksiyonu uygulandığında:

g(f(x)) = x

İkinci bilgide g(f(x)) = f(2x) + 4 eşitliği verildiğinden, bu iki ifade birbirine eşitlenir:

x = f(2x) + 4 \implies f(2x) = x - 4

2x = t dönüşümü yapılırsa x = \frac{t}{2} olur:

f(t) = \frac{t}{2} - 4 \implies f(x) = \frac{1}{2}x - 4

Adım 2 — g(x) Fonksiyonunu ve Türevini Elde Etme
g^{-1}(x) = f(x) olduğundan, g(x) fonksiyonu f(x)'in ters fonksiyonudur (g(x) = f^{-1}(x)):

y = \frac{1}{2}x - 4 \implies y + 4 = \frac{1}{2}x \implies x = 2y + 8
g(x) = 2x + 8

Bulunan g(x) fonksiyonunun türevi alınır:

g'(x) = 2

g'(x) sabit bir değer olduğundan, x = 1 için de türev değeri 2 olur:

g'(1) = 2

:white_check_mark: CEVAP: B) 2 (g'(1) = 2)

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: İki fonksiyon birbirinin tersi olduğunda (g(f(x)) = x), her iki tarafın türevi zincir kuralı ile g'(f(x)) \cdot f'(x) = 1 şeklinde de hızlıca çözülebilir. f'(x) = \frac{1}{2} olduğundan g'(f(x)) = 2 bulunur. Doğrusal fonksiyonların türevi sabit olduğundan tüm noktalardaki türev değeri aynıdır.