F, g: mathbb R to mathbb R + olmak üzere,

Question Answer
1

f, g: mathbb{R} to mathbb{R}^+ olmak üzere,
f(x) = (m - 5)^x + 2
g(x) = (12 - m)^{2x - 1}
fonksiyonları üstel fonksiyon olduğuna göre, m’nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 51
B) 45
C) 34
D) 32
E) 30
a_{n} = \frac{n^2 - 5n - 14}{3n + 12}
dizisinin kaç terimi tam sayıdır?
A) 7
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
(a_{n}) = \left(\frac{2n + 124}{n + 2}\right)
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
a ve b ardışık olmayan pozitif tam sayılar olmak üzere
\ln(a!) = \ln(b!) + 3 dot \ln 2 + 2 dot \ln 3 + \ln 7
eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre a + b toplamı kaçtır?
A) 10
B) 13
C) 15
D) 18
E) 20

f, g: mathbb R to mathbb R + olmak üzere, f(x) = (m - 5)x + 2 g(x) = (12 - m)²x - ¹...
f, g: mathbb R to mathbb R + olmak üzere, f(x) = (m - 5)x + 2 g(x) = (12 - m)²x - ¹...1024×768 156 KB

2

AYT Matematik Dizi, Logaritma ve Üstel Fonksiyon Soru Çözümleri

30. Soru: Üstel Fonksiyon Tanım Kümesi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: f(x) = a^x biçimindeki bir fonksiyonun üstel fonksiyon belirtebilmesi için tabanın pozitif ve 1’den farklı olması gerekir (a > 0 ve a \neq 1).

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

  • f(x) = (m - 5)^{x + 2} fonksiyonu için:

    m - 5 > 0 \implies m > 5
    m - 5 \neq 1 \implies m \neq 6

  • g(x) = (12 - m)^{2x - 1} fonksiyonu için:

    12 - m > 0 \implies m < 12
    12 - m \neq 1 \implies m \neq 11

  • Ortak Tanım Aralığı ve Tam Sayı Değerleri:

    5 < m < 12 \quad \text{ve} \quad m \notin \{6, 11\}

    m’nin alabileceği tam sayı değerleri: 7, 8, 9, 10

    \text{Toplam} = 7 + 8 + 9 + 10 = 34

:white_check_mark: CEVAP: C) 34

31. Soru: Dizinin Tam Sayı Terimleri

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir dizide indis n \in \mathbb{Z}^+ (n \ge 1) olmalıdır. Rasyonel ifadeli dizilerde polinom bölmesi yapılarak payda pozitif bölen sayısına göre incelenir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

  • Adım 1 — Polinom bölmesi yapalım:

    a_n = \frac{2n + 124}{n + 2} = \frac{2(n + 2) + 120}{n + 2} = 2 + \frac{120}{n + 2}

  • Adım 2 — n + 2 değerinin bölenlerini bulalım:
    a_n’nin tam sayı olması için n + 2, 120’nin pozitif bir tam böleni olmalıdır.

    120 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \implies \text{Pozitif Bölen Sayısı} = (3 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 16

  • Adım 3 — n \ge 1 koşulunu uygulayalım:
    n \ge 1 olduğuna göre n + 2 \ge 3 olmalıdır. 120’nin pozitif bölenlerinden 1 ve 2 bu şartı sağlamaz (2 adet).

    \text{Terim Sayısı} = 16 - 2 = 14

:white_check_mark: CEVAP: D) 14

36. Soru: Dizinin Negatif Terimleri

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir (a_n) dizisinde a_n < 0 eşitsizliği, n \ge 1 pozitif tam sayıları için çözülür.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

  • Adım 1 — Eşitsizlik kuralım ve çarpanlara ayıralım:

    \frac{n^2 - 5n - 14}{3n + 12} < 0 \implies \frac{(n - 7)(n + 2)}{3(n + 4)} < 0

  • Adım 2 — n \ge 1 koşulunu dikkate alalım:
    Dizilerde n \in \mathbb{Z}^+ olduğundan her zaman:

    n + 2 > 0 \quad \text{ve} \quad 3(n + 4) > 0

    Dolayısıyla paydanın ve (n + 2) ifadesinin işareti daima pozitiftir. İfadenin negatif olması yalnızca n - 7 < 0 şartına bağlıdır:

    n - 7 < 0 \implies n < 7

  • Adım 3 — Uygun n sayma sayıları:

    n \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

    Dizinin 6 farklı terimi negatiftir.

:white_check_mark: CEVAP: B) 6

37. Soru: Faktöriyel ve Logaritma Eşitliği

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Logaritma toplam kuralı \ln x + \ln y = \ln(x \cdot y) ve katsayı kuralı k \cdot \ln x = \ln(x^k) bağıntıları uygulanır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

  • Adım 1 — Eşitliğin sağ tarafını tek logaritma altında toplayalım:

    \ln(a!) = \ln(b!) + \ln(2^3) + \ln(3^2) + \ln 7
    \ln(a!) = \ln\big(b! \cdot 8 \cdot 9 \cdot 7\big) = \ln\big(b! \cdot 504\big)
    \frac{a!}{b!} = 504

  • Adım 2 — Faktöriyel sadeleştirmesini inceleyelim:
    504 sayısı ardışık çarpanlara ayrıldığında:

    504 = 9 \cdot 8 \cdot 7 = \frac{9!}{6!}

    Buradan a = 9 ve b = 6 bulunur. Soruda a ve b’nin ardışık olmayan sayılar olduğu belirtildiği için bu değerler şartı sağlar.

  • Adım 3 — İstenen toplam:

    a + b = 9 + 6 = 15

:white_check_mark: CEVAP: C) 15