F Fonksiyonunun Yerel Ekstremum Noktalarının Belirlenmesi

YKS TYT
1

Dik koordnat düzleminde, gerçel saylar kimesi izeinde ta-
hml f lonkalyonunun graligi verimişlr.
Buna görn, f fonkshyonunun yerel ekstremum noktaların
belirleyerek türlerini yaznz

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli755×566 33.3 KB

2

f Fonksiyonunun Yerel Ekstremum Noktalarının Belirlenmesi

:light_bulb: KULLANILAN KAVRAM: Bir fonksiyonun grafiğinde artanlığın azalanlığa geçtiği tepe noktalarına yerel maksimum, azalanlığın artanlığa geçtiği çukur noktalarına ise yerel minimum noktaları denir. Bu noktaların tamamına yerel ekstremum noktaları denir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Grafikteki Tepe ve Çukur Noktalarının Tespiti
Grafiği soldan sağa doğru incelediğimizde, fonksiyonun yön değiştirdiği (türevlenebilir noktalarda türevin sıfır olduğu veya eğimin işaret değiştirdiği) noktaları belirleyelim. Grafikte x = -6, x = 1, x = 3 ve x = 5 noktalarında bu değişimler açıkça görülmektedir.

Adım 2 — Yerel Maksimum Noktalarının Belirlenmesi
Grafiğin “tepe” yaptığı, yani fonksiyonun artıştan azalışa geçtiği noktalar yerel maksimum noktalarıdır:

  • x = -6 noktası: Grafik burada bir tepe yapmıştır. Bu bir yerel maksimum noktasıdır.
  • x = 3 noktası: Grafik burada da bir tepe yapmıştır. Bu bir diğer yerel maksimum noktasıdır.

Adım 3 — Yerel Minimum Noktalarının Belirlenmesi
Grafiğin “çukur” yaptığı, yani fonksiyonun azalıştan artışa geçtiği noktalar yerel minimum noktalarıdır:

  • x = 1 noktası: Grafik burada bir çukur oluşturmuştur. Bu bir yerel minimum noktasıdır.
  • x = 5 noktası: Grafik burada en alt seviyelerden birine inip tekrar artışa geçmiştir. Bu bir diğer yerel minimum noktasıdır.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP:
Fonksiyonun yerel ekstremum noktaları şunlardır:

  • Yerel Maksimum Noktaları: x = -6 ve x = 3
  • Yerel Minimum Noktaları: x = 1 ve x = 5
    ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Yerel Ekstremum

  • Tanım: Fonksiyonun tanımlı olduğu bir aralıkta aldığı en büyük veya en küçük değerlerdir.
  • Bu problemde: Grafikteki tüm dönüş noktaları (tepeler ve çukurlar) birer ekstremumdur.

2. Artan ve Azalan Aralıklar

  • Tanım: Fonksiyon grafiği yukarı doğru çıkıyorsa artan, aşağı doğru iniyorsa azalandır.
  • In this problem: Örneğin, (-6, 1) aralığında fonksiyon azalan olduğu için x = -6 başlangıçta bir maksimum, x = 1 ise bitişte bir minimum oluşturur.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Uç Noktaları Karıştırmak

  • Yanlış: Grafiğin en başında veya en sonunda okla gösterilen yerleri ekstremum sanmak.
  • Doğru: Ekstremum noktası olması için fonksiyonun o noktada bir “dönüş” yapması veya o civardaki en büyük/küçük değeri alması gerekir.
  • Neden Yanlış: Fonksiyon sonsuza gidiyorsa uçlarda ekstremum aranmaz (mutlak ekstremum hariç).

Bu fonksiyonun hangi aralıklarda artan veya azalan olduğunu da listelememi ister misin?