F Fonksiyonunun Grafiği ve Belirli İntegral ile Alan İlişkisi

YKS TYT
1

Dik koordinat düdeminde, gercal say lar kamesi Qzarinde
tanimh f forksyonunun graii verimigst.
t fonksiyon grntig le x ekseninin oluşturuğu san böigie-
rin alanlar yukarda verilmitr.

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli800×600 34 KB

2

f Fonksiyonunun Grafiği ve Belirli İntegral ile Alan İlişkisi

Görseldeki soruda f fonksiyonunun grafiği ile x ekseni arasında kalan bölgelerin alanları verilmiştir. Bu tür sorularda en kritik nokta, alan ile belirli integral arasındaki işaretsel farkı anlamaktır.

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL:

Bir f(x) fonksiyonunun [a, b] aralığındaki belirli integrali \int_{a}^{b} f(x) \, dx, fonksiyonun x ekseninin üstünde kalan alanlar için pozitif (+), altında kalan alanlar için negatif (-) değer alır.

Alanlar her zaman pozitif büyüklüklerdir:

  • x ekseninin üstünde ise: \int f(x) \, dx = \text{Alan}
  • x ekseninin altında ise: \int f(x) \, dx = -(\text{Alan})

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilen Alanları Belirleyelim
Grafikte 3 farklı kapalı bölge görülmektedir:

  1. [-5, -2] aralığında, eksenin altında kalan bölgenin alanı: 6 birimkare.
  2. [-2, 3] aralığında, eksenin üstünde kalan bölgenin alanı: C birimkare.
  3. [3, 4] aralığında, eksenin altında kalan bölgenin alanı: 4 birimkare.

Adım 2 — Alanları İntegral Değerlerine Dönüştürelim
Grafiğe göre integral değerlerini şu şekilde yazarız:

  • \int_{-5}^{-2} f(x) \, dx = -6 (Eksenin altında olduğu için)
  • \int_{-2}^{3} f(x) \, dx = +C (Eksenin üstünde olduğu için)
  • \int_{3}^{4} f(x) \, dx = -4 (Eksenin altında olduğu için)

Adım 3 — Tüm Aralıktaki İntegrali Hesaplayalım
Eğer soru bizden [-5, 4] aralığındaki toplam integrali istiyorsa:

\int_{-5}^{4} f(x) \, dx = (-6) + (C) + (-4) = C - 10

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP:
Grafikte verilen bilgilere göre [-5, 4] aralığı için integralin değeri C - 10 olur. Eğer soru mutlak değer integralini (\int |f(x)| \, dx) yani toplam alanı soruyorsa cevap C + 10 birimkaredir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Belirli İntegral

  • Tanım: Bir fonksiyonun eğrisi ile x ekseni arasındaki net yönlü alanı ifade eder.
  • Bu problemde: Alanların hangisinin pozitif hangisinin negatif işaretle toplanacağını belirler.

2. Alan (Geometrik)

  • Tanım: Bir yüzeyin büyüklüğüdür ve asla negatif olamaz.
  • Bu problemde: İntegral işleminin mutlak değerce karşılıklarıdır (6, C ve 4).

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Alanları Direkt Toplamak

  • Yanlış: \int_{-5}^{4} f(x) \, dx = 6 + C + 4 = C + 10
  • Doğru: Eksenin altında kalan bölgeler integralde negatif olarak alınmalıdır.
  • Neden: Belirli integral “net” alanı hesaplar, toplam “brüt” alanı değil.

Soru görselinde alt kısımda bir ifade daha var gibi görünüyor ancak kesilmiş. Bu alanlarla ilgili istenen özel bir toplam veya C değerini veren bir eşitlik var mı?