f: [-9, 10] to [-4, 6] olmak üzere, aşağıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, y = f(x) fonksiyonunun maksimum noktalarının apsisleri toplamı ile minumum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
Fonksiyonun Ekstremum Noktaları ve Apsisleri Toplamı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Maksimum Noktası: Fonksiyonun kendi komşuluğundaki en büyük değere ulaştığı noktalardır (tepe noktaları ve ilgili uç noktalar).
- Minimum Noktası: Fonksiyonun kendi komşuluğundaki en küçük değere ulaştığı noktalardır (çukur noktaları ve ilgili uç noktalar).
- Uç Noktalar Kuralı: Tanım kümesi kapalı bir aralık [a, b] olan sürekli fonksiyonlarda, aralığın uç noktaları da yerel ekstremum (maksimum veya minimum) noktası kabul edilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Maksimum Noktalarının Apsislerini Belirleme
Grafikte fonksiyonun yerel tepe yaptığı (artıştan azalışa geçtiği) noktaların apsisleri:
- x = -5 noktasında tepe yapmıştır.
- x = 5 noktasında tepe yapmıştır.
- x = 8 noktasında tepe yapmıştır.
Maksimum noktalarının apsisleri toplamı:
T_{\text{maks}} = (-5) + 5 + 8 = 8
Adım 2 — Minimum Noktalarının Apsislerini Belirleme
Grafikte yerel çukur yapan (azalıştan artışa geçen) noktalar ile uç noktalar incelenir:
- Sol Uç Nokta: x = -9 noktasında fonksiyon en küçük değerlerinden birini alır ve bu noktadan sonra artışa geçer, dolayısıyla bir yerel minimum noktasıdır.
- İç Dip Noktaları: x = -2 ve x = 6 noktalarında fonksiyon çukur yapmıştır (yerel minimum).
- Sağ Uç Nokta: x = 10 noktasında fonksiyon azalarak sona ermiştir, civarındaki değerlere göre daha küçük olduğu için bir yerel minimum noktasıdır.
Minimum noktalarının apsisleri toplamı:
T_{\text{min}} = (-9) + (-2) + 6 + 10 = 5
Adım 3 — İstenen Toplamın Hesaplanması
Maksimum noktalarının apsisleri toplamı ile minimum noktalarının apsisleri toplamı:
\text{Toplam} = T_{\text{maks}} + T_{\text{min}} = 8 + 5 = 13
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 13
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Uç Noktalarda Ekstremum: Bir fonksiyonun tanımlı olduğu kapalı aralığın sınır değerleri (x = a ve x = b), komşuluklarında fonksiyon değerlerinden daha büyükse yerel maksimum, daha küçükse yerel minimum noktasıdır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Sadece iç bölgedeki tepe ve çukurları hesaba katarak x = -9 ve x = 10 uç noktalarını unutmak (8 + 4 = 12 bularak C şıkkına düşmek).- Doğru Yaklaşım: Kapalı aralıkta tanımlı fonksiyonlarda uç noktaların da birer yerel ekstremum noktası olduğunu dikkate almak.
Benzer bir grafik üzerinde mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini bulma alıştırması yapmak ister misin?