- D
f(4)\rightarrow -4,2) olmak üzere,
f(x)= x-8x +12
olduğuna göre, (f’(0) kaçtır?
A)4 B) 2
-o
Soru Fotoğrafı:
Verilenlerin değerlendirilmesi ve sorunun çözümü
Fonksiyon:
f(x) = x^2 - 8x + 12
Tanım kümesi: [4, \infty), değer kümesi: [-4, \infty)
Bulunacak değer:
(f^{-1})'(0) = ?
Kullanılan Formül:
Türevli fonksiyonun tersinin türevi formülü:
(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}
Burada x_0, f(x_0) = y_0 şartını sağlayan değerdir.
Çözüm Adımları:
Adım 1 — x_0 değerini bulma
f(x_0) = 0 olan x_0 değerini bulmalıyız.
x_0^2 - 8x_0 + 12 = 0
\Rightarrow (x_0 - 6)(x_0 - 2) = 0
Buradan x_0 = 6 ya da x_0 = 2 bulunur.
Tanım kümesi [4, \infty) olduğundan x_0 = 2 geçerli değildir.
O halde, x_0 = 6.
Adım 2 — f'(x)'i bulma
f(x) = x^2 - 8x + 12 fonksiyonunu türevleyelim:
f'(x) = 2x - 8
Adım 3 — f'(x_0)'i hesaplama
f'(6) = 2 \times 6 - 8 = 12 - 8 = 4
Adım 4 — (f^{-1})'(0) değerini hesaplama
(f^{-1})'(0) = \frac{1}{f'(6)} = \frac{1}{4}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: \boxed{\frac{1}{4}} (D şıkkı)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
1. Ters fonksiyon türevi
- Ters fonksiyonun türevi, direkt fonksiyonun türevinin tersine eşittir.
- Özellikle f'(x_0) sıfır değilse bu formül geçerlidir.
2. Fonksiyon tanım aralığı
- Ters fonksiyonun var olabilmesi için orijinal fonksiyonun monotonic olması ve belirli tanım kümesi göz önünde bulundurulmalıdır.
Sık Yapılan Hatalar:
x_0 yanlış seçimi
- Yanlış: Denklemin her kökünü kullanmak.
- Doğru: x_0 fonksiyonun tanım aralığında olmalı.
Türev değerini yanlış hesaplamak
- Yanlış: İlk türevi yanlış almak veya işlem hatası yapmak.
- Doğru: Türevi dikkatlice hesaplamak.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
f:[4,∞) → [−4,∞) olmak üzere, f(x) = x^2 − 8x + 12 olduğuna göre, (f^{-1})'(0) kaçtır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Ters türev formülü:
(f^{-1})'(y) \;=\; \frac{1}{f'(x)} \quad \text{burada } x=f^{-1}(y)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — f(x)=0 için x değerini bul
f(x)=x^2-8x+12
=x^2-8x+16-4
=(x-4)^2-4
(x-4)^2-4=0
(x-4)^2=4
x-4=2
x=6
x-4=-2
x=2
Not: Fonksiyonun tanım kümesi [4,∞) olduğundan uygun kök x=6’dır.
Adım 2 — f’(x) ve (f^{-1})'(0) hesapla
f'(x)=2x-8
f'(6)=2\cdot 6-8
=12-8
=4
(f^{-1})'(0)=\frac{1}{f'(6)}
=\frac{1}{4}
CEVAP: \displaystyle \frac{1}{4}
TEMEL KAVRAMLAR:
- Ters fonksiyon türevi
- Tanım: Ters fonksiyonun türevi, orijinal fonksiyonun türevinin tersidir: (f^{-1})'(y)=1/f'(x).
- Bu problemde: y=0 için x değeri bulunup formülde yerine kondu.
- Tam kareye tamamlama
- Tanım: İkinci dereceden ifadeyi (x-a)^2+b biçimine dönüştürme yöntemi.
- Bu problemde: x^2-8x+12=(x-4)^2-4 şeklinde kullanıldı ve aralık bilgisiyle doğru kök seçildi.
SIK YAPILAN HATALAR:
Kök olarak x=2 alınması
- Yanlış: f(x)=0 için x=2 seçmek (tanım kümesine uymuyor).
- Doğru: Tanım kümesi [4,∞) olduğundan x=6 seçilmeli.
- Neden yanlış: f(2)=0 olsa da x=2 tanım kümesinin dışındadır.
- Düzeltme: Fonksiyonun tanım kümesini kontrol et ve uygun kökü kullan.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?