F(2x + f(x)) = 2 dot f(x) + 4 f(1) = 3 olduğuna göre, f(20) değeri kaçtır?

YKS TYT
1

f(2x + f(x)) = 2 dot f(x) + 4
f(1) = 3
olduğuna göre, f(20) değeri kaçtır?
A) 30
B) 28
C) 24
D) 21
E) 20
I. f(x) = 3x
II.

f(x) = 3^x

III.

f(x) = x^2

fonksiyonlarından hangileri a ve b gerçel sayıları için f(a + b) = f(a) dot f(b) eşitliğini sağlar?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) Yalnız III
D) I ve II
E) I, II ve III

f(2x + f(x)) = 2 dot f(x) + 4 f(1) = 3 olduğuna göre, f(20) değeri kaçtır?
f(2x + f(x)) = 2 dot f(x) + 4 f(1) = 3 olduğuna göre, f(20) değeri kaçtır?800×955 67.4 KB

2

Görseldeki iki sorunun adım adım çözümleri aşağıda verilmiştir:

8. Soru: Fonksiyonlarda Değer Bulma

:light_bulb: KULLANILAN KURAL:
Verilen fonksiyon denkleminde bilinen değerleri yerine yazarak zincirleme bir şekilde hedef değere ulaşma yöntemi uygulanır:

f(2x + f(x)) = 2 \cdot f(x) + 4

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — x = 1 Değerini Yazma
Soruda verilen f(1) = 3 değerini ana denklemde x = 1 yazarak kullanalım:

f(2 \cdot 1 + f(1)) = 2 \cdot f(1) + 4
f(2 + 3) = 2 \cdot 3 + 4
f(5) = 6 + 4 = 10

Adım 2 — x = 5 Değerini Yazma
Bulduğumuz f(5) = 10 değerini ana denklemde x = 5 yazarak yerine koyalım:

f(2 \cdot 5 + f(5)) = 2 \cdot f(5) + 4
f(10 + 10) = 2 \cdot 10 + 4
f(20) = 20 + 4 = 24

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C) 24
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

9. Soru: Fonksiyonel Denklem Özellikleri

:light_bulb: KULLANILAN KURAL:
f(a + b) = f(a) \cdot f(b) eşitliği, üslü ifadelerin çarpma kuralı olan k^{a+b} = k^a \cdot k^b özelliğini taşıyan üstel fonksiyonlara aittir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI & ÖNCÜL ANALİZİ:

  • I. Öncül: f(x) = 3x

    • f(a + b) = 3(a + b) = 3a + 3b
    • f(a) \cdot f(b) = (3a) \cdot (3b) = 9ab
    • 3a + 3b \neq 9ab olduğundan bu eşitlik sağlanmaz (Bu fonksiyon f(a+b) = f(a) + f(b) kuralını sağlar).

  • II. Öncül: f(x) = 3^x

    • f(a + b) = 3^{a + b}
    • f(a) \cdot f(b) = 3^a \cdot 3^b = 3^{a + b}
    • 3^{a+b} = 3^{a+b} olduğundan her a ve b gerçel sayısı için bu eşitlik sağlanır.

  • III. Öncül: f(x) = x^2

    • f(a + b) = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
    • f(a) \cdot f(b) = a^2 \cdot b^2
    • (a+b)^2 \neq a^2 b^2 olduğundan bu eşitlik sağlanmaz.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) Yalnız II
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Üstel Fonksiyon Özelliği: f(x) = k^x biçimindeki fonksiyonlar her zaman f(a + b) = f(a) \cdot f(b) eşitliğini sağlar.
  • Doğrusal Fonksiyon Özelliği: f(x) = kx biçimindeki fonksiyonlar her zaman f(a + b) = f(a) + f(b) eşitliğini sağlar.

Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir fonksiyonel denklem sorusu çözmek ister misin?