F(2) = f(9) olmak üzere, f fonksiyonunun [2, 9] aralığındaki ortalama değişim hızı 7 dir

Question Answer
1

II. f(2) = f(9) olmak üzere, f fonksiyonunun [2, 9] aralığındaki ortalama değişim hızı 7 dir.
Yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) Yalnız III
D) I ve II
E) I ve III

f(2) = f(9) olmak üzere, f fonksiyonunun 2, 9 aralığındaki ortalama değişim hızı 7 dir.
f(2) = f(9) olmak üzere, f fonksiyonunun 2, 9 aralığındaki ortalama değişim hızı 7 dir.1024×768 114 KB

2

Fonksiyonlarda Ortalama Değişim Hızı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir f(x) fonksiyonunun [a, b] aralığındaki ortalama değişim hızı (değişim oranı):

\text{Ortalama Değişim Hızı} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI & ÖNCÜL ANALİZİ:

  • I. Öncül İncelemesi:
    f(x) = 7x + 3 fonksiyonunun [1, 4] aralığındaki ortalama değişim hızını bulmak için uç değerleri fonksiyonda yerine yazalım:

    • f(4) = 7(4) + 3 = 28 + 3 = 31
    • f(1) = 7(1) + 3 = 7 + 3 = 10
    \text{Ortalama Değişim Hızı} = \frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \frac{31 - 10}{3} = \frac{21}{3} = 7

    (Pratik bilgi: Doğrusal fonksiyonların her aralıktaki ortalama değişim hızı, doğrudan fonksiyonun eğimine eşittir.)
    Dolayısıyla I. ifade DOĞRUDUR.

  • II. Öncül İncelemesi:
    f(2) = f(9) olarak verilmiştir. [2, 9] aralığındaki ortalama değişim hızı:

    \text{Ortalama Değişim Hızı} = \frac{f(9) - f(2)}{9 - 2}

    f(9) = f(2) olduğundan pay kısmı f(9) - f(2) = 0 olur:

    \frac{0}{7} = 0

    İfadede ortalama değişim hızının 7 olduğu söylenmiştir. Dolayısıyla II. ifade YANLIŞTIR.

  • III. Öncül İncelemesi:
    f(x) = x^3 + x^2 - 2 fonksiyonunun [0, 3] aralığındaki değerlerini hesaplayalım:

    • f(3) = 3^3 + 3^2 - 2 = 27 + 9 - 2 = 34
    • f(0) = 0^3 + 0^2 - 2 = -2
    \text{Ortalama Değişim Hızı} = \frac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \frac{34 - (-2)}{3 - 0} = \frac{36}{3} = 12

    Dolayısıyla III. ifade DOĞRUDUR.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: E — I ve III
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Ortalama Değişim Hızı: Geometrik olarak, fonksiyon grafiği üzerinde aralığın uç noktalarını birleştiren kesen doğrusunun eğimine eşittir.
  • Doğrusal Fonksiyonlar: f(x) = mx + n şeklindeki fonksiyonlarda ortalama değişim hızı daima m (eğim) değerine eşittir, aralıktan bağımsızdır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: II. öncülde aralık uzunluğu 9 - 2 = 7 olduğu için ortalama değişim hızının da 7 olduğunu varsaymak.
  • :white_check_mark: Doğru Mantık: Fonksiyonun aldığı değerler değişmediyse (f(b) = f(a)), fonksiyon net bir artış veya azalış göstermediğinden ortalama değişim hızı mutlaka 0 olur.

Bu konuyla ilgili doğrusal olmayan bir fonksiyonun farklı aralıklardaki değişim hızlarını karşılaştıran bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?