f 1 \mathbb{R} - {-2} \rightarrow \mathbb{R} - {3}$
f(x) = \frac{ax - 6}{bx - 4}
fonksiyonu bire bir ve örten olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
A) -8
B) -7
C) -6
D) -5
E) -4
Rasyonel Fonksiyonların Tanım ve Değer Kümesi Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} biçimindeki homografik (rasyonel) fonksiyonlarda; paydayı sıfır yapan değer tanım kümesinden, tersinin paydasını sıfır yapan değer (yani x’in katsayıları oranı \frac{a}{c}) ise değer kümesinden çıkarılır. Fonksiyon bire bir ve örten olduğunda f: \mathbb{R} - \{k\} \to \mathbb{R} - \{m\} için k değeri f(x)'in paydasının, m değeri ise f^{-1}(x)'in paydasının köküdür (\frac{a}{c} = m).
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Tanım Kümesinden b Değerini Bulma
Fonksiyonun tanım kümesi \mathbb{R} - \{-2\} olarak verildiğinden, x = -2 değeri f(x)'in paydasını sıfır yapar:
b(-2) - 4 = 0 \implies -2b = 4 \implies b = -2
Adım 2 — Değer Kümesinden a Değerini Bulma
Fonksiyon bire bir ve örten olduğundan değer kümesinde bulunmayan 3 sayısı, f^{-1}(x) fonksiyonunun tanımsız olduğu noktadır. f(x) = \frac{ax - 6}{bx - 4} fonksiyonunun tersi:
f^{-1}(x) = \frac{4x - 6}{bx - a}
Ters fonksiyonun paydasını sıfır yapan değer x = 3 olduğundan:
b(3) - a = 0 \implies a = 3b
b = -2 değerini yerine yazarsak:
a = 3 \cdot (-2) = -6
Adım 3 — a + b Toplamını Hesaplama
Elde edilen a ve b katsayılarını toplarız:
a + b = (-6) + (-2) = -8
CEVAP: A) -8 (a + b = -8)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: f: \mathbb{R} - \{r\} \to \mathbb{R} - \{k\} biçiminde tanımlı f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} fonksiyonlarında sınav esnasında ters fonksiyon kuralını uzun uzun çıkarmak yerine pratik olarak r = -\frac{d}{c} ve k = \frac{a}{c} eşitliklerini doğrudan kullanabilirsiniz.