Continuité et dérivabilité d’une fonction définie par morceaux
KULLANILAN FORMÜL / KURAL (FORMULES ET RÈGLES UTILISÉES) :
- Continuité en un point x_0 : \lim_{x \to x_0^+} g(x) = \lim_{x \to x_0^-} g(x) = g(x_0)
- Dérivabilité à droite en x_0 : \lim_{x \to x_0^+} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} = g'_d(x_0) \in \mathbb{R}
- Dérivabilité à gauche en x_0 : \lim_{x \to x_0^-} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} = g'_g(x_0) \in \mathbb{R}
- Dérivabilité en un point : g est dérivable en x_0 si et seulement si g'_d(x_0) = g'_g(x_0).
ÇÖZÜM ADIMLARI (ÉTAPES DE RÉSOLUTION) :
1) Continuité de la fonction g en x_0 = 1
Adım 1 — Calcul de l’image de 1 :
Pour x \ge 1, l’expression de la fonction est g(x) = \sqrt{2x + 2} :
g(1) = \sqrt{2(1) + 2} = \sqrt{4} = 2
Adım 2 — Limite à droite en 1 :
\lim_{x \to 1^+} g(x) = \lim_{x \to 1^+} \sqrt{2x + 2} = \sqrt{4} = 2
Adım 3 — Limite à gauche en 1 :
Pour x < 1, l’expression de la fonction est g(x) = x^2 - 3x + 4 :
\lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2 - 3x + 4) = 1^2 - 3(1) + 4 = 2
Puisque \lim_{x \to 1^+} g(x) = \lim_{x \to 1^-} g(x) = g(1) = 2, la fonction g est continue au point 1.
2) Étude de la dérivabilité en 1 et interprétation géométrique
Adım 1 — Dérivabilité à droite en 1 :
On calcule la limite du taux d’accroissement lorsque x \to 1^+ en utilisant l’expression conjuguée :
\lim_{x \to 1^+} \frac{g(x) - g(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{2x + 2} - 2}{x - 1}
\lim_{x \to 1^+} \frac{(\sqrt{2x + 2} - 2)(\sqrt{2x + 2} + 2)}{(x - 1)(\sqrt{2x + 2} + 2)} = \lim_{x \to 1^+} \frac{(2x + 2) - 4}{(x - 1)(\sqrt{2x + 2} + 2)}
\lim_{x \to 1^+} \frac{2(x - 1)}{(x - 1)(\sqrt{2x + 2} + 2)} = \lim_{x \to 1^+} \frac{2}{\sqrt{2x + 2} + 2} = \frac{2}{\sqrt{4} + 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
La limite est finie, donc g est dérivable à droite en 1 et le nombre dérivé à droite est :
g'_d(1) = \frac{1}{2}
Adım 2 — Dérivabilité à gauche en 1 :
On calcule la limite du taux d’accroissement lorsque x \to 1^- :
\lim_{x \to 1^-} \frac{g(x) - g(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{(x^2 - 3x + 4) - 2}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1}
On factorise le numérateur : x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) :
\lim_{x \to 1^-} \frac{(x - 1)(x - 2)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} (x - 2) = 1 - 2 = -1
La limite est finie, donc g est dérivable à gauche en 1 et le nombre dérivé à gauche est :
g'_g(1) = -1
3) Dérivabilité de g au point 1
On compare les nombres dérivés à droite et à gauche :
g'_d(1) = \frac{1}{2} \quad \text{et} \quad g'_g(1) = -1
Puisque g'_d(1) \neq g'_g(1), la fonction g n’est pas dérivable au point 1.
(Géométriquement, le point A(1, 2) est un point anguleux de la courbe (\mathcal{C}_g)).
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CEVAP (RÉSUMÉ FINAL) :
- g est continue en 1 car \lim_{x \to 1^+} g(x) = \lim_{x \to 1^-} g(x) = g(1) = 2.
- g est dérivable à droite et à gauche en 1 avec g'_d(1) = \frac{1}{2} et g'_g(1) = -1 (deux demi-tangentes distinctes en A(1, 2)).
- g n’est pas dérivable en 1 car g'_d(1) \neq g'_g(1) (présence d’un point anguleux).
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TEMEL KAVRAMLAR (NOTIONS CLÉS) :
- Point anguleux : Point où les demi-tangentes à gauche et à droite existent mais ont des coefficients directeurs différents (g'_g(x_0) \neq g'_d(x_0)).
- Continuité vs Dérivabilité : La continuité est une condition nécessaire mais non suffisante pour la dérivabilité.
SIK YAPILAN HATALAR (ERREURS COURANTES) :
Hatalı Yaklaşım : Conclure qu’une fonction est dérivable en un point uniquement parce qu’elle y est continue.- Doğru Yaklaşım : Il faut obligatoirement calculer les limites des taux d’accroissement à gauche et à droite et vérifier leur stricte égalité.
Souhaites-tu que l’on résolve un autre exercice similaire pour t’entraîner sur les points anguleux et les demi-tangentes ?
