Exercice 2: Soit f la fonction numérique définie sur mathbb R par: f(x) = (ax² + 3x - a)/(x - 2) & si x < 2 (bx² -

[Romaissae_Hachad]

Exercice 2: Soit f la fonction numérique définie sur mathbb{R} par:

f(x) =

\frac{ax^2 + 3x - a}{x - 2} & si x < 2 \

\frac{bx^2 - 2bx}{\sqrt{2x - 3} - 1} & si x > 2 \

2c + 1 & si x $= 2$

tel que a, b et c sont des paramètres réels. Déterminez les valeurs de a, b et c pour que f soit continue en 2.

[Sorumatik]

@Egitim_Danismani

[Egitim_Danismani (Sorumatik Eğitim Danışmanı)]

Détermination des paramètres a, b et c pour la continuité de f en x = 2

RÈGLE UTILISÉE :
Une fonction f est continue en un point x_0 si et seulement si elle admet une limite finie à gauche, une limite finie à droite en ce point, et que ces deux limites sont égales à l’image de ce point :

\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)

ÉTAPES DE RÉSOLUTION :

Étape 1 — Détermination du paramètre a par la limite à gauche
Pour x < 2, l’expression de la fonction est :

f(x) = \frac{ax^2 + 3x - a}{x - 2}

Lorsque x \to 2^-, le dénominateur tend vers 0 (x - 2 \to 0). Pour que la limite soit finie (condition indispensable de continuité), le numérateur doit obligatoirement s’annuler en x = 2 afin d’obtenir une forme indéterminée \frac{0}{0} simplifiable :

a(2)^2 + 3(2) - a = 0

4a + 6 - a = 0

3a + 6 = 0 \implies a = -2

Étape 2 — Calcul de la limite à gauche \lim_{x \to 2^-} f(x)
En remplaçant a = -2, le numérateur devient :

-2x^2 + 3x - (-2) = -2x^2 + 3x + 2

On factorise ce trinôme sachant que 2 est une racine :

-2x^2 + 3x + 2 = (x - 2)(-2x - 1)

On simplifie l’expression pour x \neq 2 :

f(x) = \frac{(x - 2)(-2x - 1)}{x - 2} = -2x - 1

On calcule alors la limite à gauche :

\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (-2x - 1) = -2(2) - 1 = -5

Étape 3 — Calcul de la limite à droite et détermination du paramètre b
Pour x > 2, la fonction est définie par :

f(x) = \frac{bx^2 - 2bx}{\sqrt{2x - 3} - 1}

En factorisant le numérateur par bx et en multipliant le numérateur et le dénominateur par l’expression conjuguée (\sqrt{2x - 3} + 1) :

f(x) = \frac{bx(x - 2)(\sqrt{2x - 3} + 1)}{(\sqrt{2x - 3} - 1)(\sqrt{2x - 3} + 1)}

f(x) = \frac{bx(x - 2)(\sqrt{2x - 3} + 1)}{(2x - 3) - 1}

f(x) = \frac{bx(x - 2)(\sqrt{2x - 3} + 1)}{2x - 4} = \frac{bx(x - 2)(\sqrt{2x - 3} + 1)}{2(x - 2)}

Pour tout x > 2, on simplifie par (x - 2) :

f(x) = \frac{bx(\sqrt{2x - 3} + 1)}{2}

On calcule la limite quand x \to 2^+ :

\lim_{x \to 2^+} f(x) = \frac{b(2)(\sqrt{2(2) - 3} + 1)}{2} = \frac{2b(\sqrt{1} + 1)}{2} = 2b

Puisque f doit être continue en 2, on doit avoir \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^-} f(x) = -5 :

2b = -5 \implies b = -\frac{5}{2}

Étape 4 — Détermination du paramètre c avec la valeur de f(2)
La valeur de la fonction en 2 est donnée par :

f(2) = 2c + 1

Pour assurer la continuité, cette valeur doit être égale à la limite commune -5 :

2c + 1 = -5

2c = -6 \implies c = -3

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
RÉPONSE :

a = -2, \quad b = -\frac{5}{2}, \quad c = -3

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

CONCEPTS CLÉS :

1. Continuité en un point

• Définition : Une fonction est continue en x_0 si elle est définie en x_0 et admet une limite en ce point égale à f(x_0).
• Dans ce problème : La fonction étant définie par morceaux, il a fallu égaliser les limites unilatérales à gauche et à droite avec l’image f(2).

2. Levée d’indétermination par conjugué

• Définition : Technique algébrique consistant à multiplier par (\sqrt{A} + B) pour éliminer une racine carrée au dénominateur via l’identité remarquable (u-v)(u+v) = u^2 - v^2.
• Dans ce problème : Elle a permis de faire apparaître le facteur (x - 2) au dénominateur et de le simplifier.

ERREURS FRÉQUENTES :

Oublier la condition d’annulation du numérateur

• Faux : Tenter de calculer la limite à gauche en laissant a indéterminé sans poser que le numérateur doit s’annuler en x = 2.
• Juste : Poser 3a + 6 = 0 dès le départ car si le numérateur ne s’annule pas, la limite est infinie et f ne peut pas être continue.
• Pourquoi c’est faux : Un dénominateur qui tend vers 0 avec un numérateur non nul donne une limite infinie, ce qui contredit la continuité.

Souhaites-tu que nous fassions un exercice similaire pour t’entraîner sur la dérivabilité en un point de raccordement ?

[Egitim_Danismani (Sorumatik Eğitim Danışmanı)]

Détermination des paramètres a, b et c pour la continuité de f en x = 2

RÈGLE UTILISÉE :
Une fonction f est continue en un point x_0 si et seulement si elle admet une limite finie à gauche, une limite finie à droite en ce point, et que ces deux limites sont égales à l’image de ce point :

\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)

ÉTAPES DE RÉSOLUTION :

Étape 1 — Détermination du paramètre a par la limite à gauche
Pour x < 2, l’expression de la fonction est :

f(x) = \frac{ax^2 + 3x - a}{x - 2}

Lorsque x \to 2^-, le dénominateur tend vers 0 (x - 2 \to 0). Pour que la limite soit finie (condition indispensable de continuité), le numérateur doit obligatoirement s’annuler en x = 2 afin d’obtenir une forme indéterminée \frac{0}{0} simplifiable :

a(2)^2 + 3(2) - a = 0

4a + 6 - a = 0

3a + 6 = 0 \implies a = -2

Étape 2 — Calcul de la limite à gauche \lim_{x \to 2^-} f(x)
En remplaçant a = -2, le numérateur devient :

-2x^2 + 3x - (-2) = -2x^2 + 3x + 2

On factorise ce trinôme sachant que 2 est une racine :

-2x^2 + 3x + 2 = (x - 2)(-2x - 1)

On simplifie l’expression pour x \neq 2 :

f(x) = \frac{(x - 2)(-2x - 1)}{x - 2} = -2x - 1

On calcule alors la limite à gauche :

\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (-2x - 1) = -2(2) - 1 = -5

Étape 3 — Calcul de la limite à droite et détermination du paramètre b
Pour x > 2, la fonction est définie par :

f(x) = \frac{bx^2 - 2bx}{\sqrt{2x - 3} - 1}

En factorisant le numérateur par bx et en multipliant le numérateur et le dénominateur par l’expression conjuguée (\sqrt{2x - 3} + 1) :

f(x) = \frac{bx(x - 2)(\sqrt{2x - 3} + 1)}{(\sqrt{2x - 3} - 1)(\sqrt{2x - 3} + 1)}

f(x) = \frac{bx(x - 2)(\sqrt{2x - 3} + 1)}{(2x - 3) - 1}

f(x) = \frac{bx(x - 2)(\sqrt{2x - 3} + 1)}{2x - 4} = \frac{bx(x - 2)(\sqrt{2x - 3} + 1)}{2(x - 2)}

Pour tout x > 2, on simplifie par (x - 2) :

f(x) = \frac{bx(\sqrt{2x - 3} + 1)}{2}

On calcule la limite quand x \to 2^+ :

\lim_{x \to 2^+} f(x) = \frac{b(2)(\sqrt{2(2) - 3} + 1)}{2} = \frac{2b(\sqrt{1} + 1)}{2} = 2b

Puisque f doit être continue en 2, on doit avoir \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^-} f(x) = -5 :

2b = -5 \implies b = -\frac{5}{2}

Étape 4 — Détermination du paramètre c avec la valeur de f(2)
La valeur de la fonction en 2 est donnée par :

f(2) = 2c + 1

Pour assurer la continuité, cette valeur doit être égale à la limite commune -5 :

2c + 1 = -5

2c = -6 \implies c = -3

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RÉPONSE :

a = -2, \quad b = -\frac{5}{2}, \quad c = -3

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CONCEPTS CLÉS :

1. Continuité en un point

• Définition : Une fonction est continue en x_0 si elle est définie en x_0 et admet une limite en ce point égale à f(x_0).
• Dans ce problème : La fonction étant définie par morceaux, il a fallu égaliser les limites unilatérales à gauche et à droite avec l’image f(2).

2. Levée d’indétermination par conjugué

• Définition : Technique algébrique consistant à multiplier par (\sqrt{A} + B) pour éliminer une racine carrée au dénominateur via l’identité remarquable (u-v)(u+v) = u^2 - v^2.
• Dans ce problème : Elle a permis de faire apparaître le facteur (x - 2) au dénominateur et de le simplifier.

ERREURS FRÉQUENTES :

Oublier la condition d’annulation du numérateur

• Faux : Tenter de calculer la limite à gauche en laissant a indéterminé sans poser que le numérateur doit s’annuler en x = 2.
• Juste : Poser 3a + 6 = 0 dès le départ car si le numérateur ne s’annule pas, la limite est infinie et f ne peut pas être continue.
• Pourquoi c’est faux : Un dénominateur qui tend vers 0 avec un numérateur non nul donne une limite infinie, ce qui contredit la continuité.

Souhaites-tu que nous fassions un exercice similaire pour t’entraîner sur la dérivabilité en un point de raccordement ?