EV 8 n pozitif tam sayI olmak üzere, gerçel sayılar küme- sinde tanimlı f fonksiyonu f() =(1 +x +x*+*°t.. + x) biçiminde veriliyor. f(1) = 100-n olduğuna göre, n kaçtır? A) 4 B) 5 C) 8 D) 9 E) 10
!Resim [Link Silindi]
n pozitif tam sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesinde tanımlı f(x) = \left(1 + x + x^2 + x^3 + \ldots + x^n\right)^2 fonksiyonunun türevi f'(1) = 100 \cdot n olduğuna göre, n kaçtır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Zincir kuralı ve toplam fonksiyonların türevi.
- Geometrik dizi toplamı formülü: S = 1 + x + x^2 + \ldots + x^n = \frac{1 - x^{n+1}}{1 - x} ( x \neq 1 )
- (g(x))^2 ’ nin türevi: 2 g(x) \cdot g'(x)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Fonksiyonu g(x) olarak yaz
g(x) = 1 + x + x^2 + \ldots + x^n
Bu, f(x) = (g(x))^2 olarak veriliyor.
Adım 2 — g(x) ifadesinin türevini bul
g(x) bir polinom olduğundan,
g'(x) = 0 + 1 + 2x + 3x^2 + \ldots + n x^{n-1} = \sum_{k=1}^{n} k x^{k-1}
Adım 3 — f(x) 'in türemini zincir kuralıyla yaz
f'(x) = 2 g(x) \cdot g'(x)
Adım 4 — f'(1) 'i hesapla
Önce g(1) 'i hesapla:
g(1) = 1 + 1 + 1 + \ldots + 1 = n + 1
Sonra g'(1) 'i hesapla:
g'(1) = \sum_{k=1}^n k \cdot 1^{k-1} = \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}
Böylece,
f'(1) = 2 \cdot g(1) \cdot g'(1) = 2 \cdot (n+1) \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n (n+1)^2
Adım 5 — Verilen eşitliği kullan
Verilen: f'(1) = 100 \cdot n
Bulduğumuz değer ile eşitleyelim:
n (n+1)^2 = 100 n
n \neq 0 olduğu için her iki tarafı n 'ye bölelim:
(n + 1)^2 = 100
Buradan,
n + 1 = \pm 10
Pozitif tam sayı olduğundan,
n + 1 = 10 \implies n = 9
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 9
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Zincir Kuralı
- Bir fonksiyonun karesi gibi içte fonksiyon olan yapının türevini alırken kullanılır.
- Bu problemde: f(x) = (g(x))^2 olduğundan f'(x) = 2 g(x) g'(x) .
2. Polinom Türevi ve Toplam Formülleri
- Polinom terimleri ayrı ayrı türevlenir ve toplanır.
- \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} formülü kullanıldı.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
EV 8 n pozitif tam sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesinde tanımlı f fonksiyonu f(x) = (1 + x + x^2 + x^3 + … + x^n)^2 biçiminde veriliyor. f’(1) = 100·n olduğuna göre, n kaçtır? A) 4 B) 5 C) 8 D) 9 E) 10
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Geometrik dizi toplamı: \displaystyle \sum_{k=0}^{n} x^k = \frac{1-x^{\,n+1}}{1-x} (x ≠ 1)
- Türev kuralı: \displaystyle \big(g(x)^2\big)' = 2\,g(x)\,g'(x)
- Aritmetik seri toplamı: \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Seriyi ve türevini yaz
Fonksiyonun içindeki toplamı S(x) ile gösterelim.
S(x)=\sum_{k=0}^{n} x^{k}
S'(x)=\sum_{k=1}^{n} k\,x^{\,k-1}
Şimdi x=1 için değerleri hesaplayalım.
S(1)=\sum_{k=0}^{n} 1
= n+1
S'(1)=\sum_{k=1}^{n} k
= \frac{n(n+1)}{2}
Adım 2 — f’(1) ifadesini bulun
f(x)=S(x)^2 olduğuna göre türevi:
f'(x)=2\,S(x)\,S'(x)
x=1 için:
f'(1)=2\,S(1)\,S'(1)
= 2\,(n+1)\,\frac{n(n+1)}{2}
= (n+1)\,n(n+1)
= n\,(n+1)^2
Adım 3 — Denklemi kur ve çöz
Verilen koşul f'(1)=100\cdot n.
n\,(n+1)^2 = 100\,n
(n pozitif tam sayı olduğundan n\neq 0) her iki tarafı n ile sadeleştirelim.
(n+1)^2 = 100
Karekök alalım (pozitif kök alıyoruz çünkü n+1>0).
n+1 = 10
n = 9
CEVAP: D) 9
TEMEL KAVRAMLAR:
- Türev çarpım kuralı
- Tanım: (g^2)' = 2g g'
- Bu problemde: g(x)=\sum_{k=0}^n x^k alındı ve f'(1)=2g(1)g'(1) kullanıldı.
- Aritmetik seri toplamı
- Tanım: 1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}
- Bu problemde: S'(1)=\sum_{k=1}^n k hesaplanırken kullanıldı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hata: Geometrik toplam formülünü x=1 için doğrudan kullanmak
- Yanlış: \frac{1-1^{n+1}}{1-1} ifadesini direk yazıp belirsizliği yok saymak.
- Doğru: x=1 noktasında toplam doğrudan terimlerin toplamı olarak n+1 alınmalıdır.
- Neden yanlış: Formül x=1 için 0/0 belirsizliği verir.
- Düzeltme: x=1 durumunda serinin terimlerini toplayın: S(1)=n+1.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!