Eueii2iz

YKS TYT
1


IMG_20250502_193658
IMG_20250502_193658720×540 21.9 KB

Ejei

2

Sorunun Çözümü:

Soru, x^2 - 4x + k = 0 biçimindeki ikinci dereceden denklemin karmaşık köklerini ve bilinmeyen k değerini bulmayı istemektedir. Verilen bilgiler:

  1. x_1 ve x_2 denklemin kökleri ve karmaşık köklerdir.
  2. İm(x_1) = a, İm(x_2) = b.
  3. a > b ve a - b = 6.

Bu durumda denklemi adım adım çözebiliriz:

Adım 1: İkinci Dereceden Denklemin Genel Özellikleri

Bir ikinci dereceden denklemin kökleri karmaşık ise ve kökler x_1 = p + qi, x_2 = p - qi biçiminde (karmaşık sayılar için eşlenik kökler) ifade edilebilirse:

  • Reel kısım: p
  • İmajiner kısım: q

Burada:

  • \text{Reel kısmın toplamı (sum of roots)}: x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}
  • \text{Çarpım (product of roots)}: x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Adım 2: Verilen k Değerini Bulma

Denklem: x^2 - 4x + k = 0, burada:

  • Katsayılar: a = 1, b = -4, c = k

Köklerin Toplamı ve Çarpımı:

  • Köklerin toplamı: x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-4}{1} = 4
  • Köklerin çarpımı: x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = k

Adım 3: Karmaşık Köklerin Özellikleri

Verilen kökler karmaşık kökler olduğundan:

  • x_1 = 2 + ai,
  • x_2 = 2 - ai.

Burada köklerin toplamı:

x_1 + x_2 = (2 + ai) + (2 - ai) = 4

Doğrulanmış!

Köklerin çarpımı:

x_1 \cdot x_2 = (2 + ai)(2 - ai) = 2^2 - (ai)^2 = 4 - a^2

Buradan:

k = 4 - a^2

Adım 4: İmajiner Kısımla İlgili Bilgileri Kullanma

Soruya göre:

  • a > b, a - b = 6.

Bunu karmaşık köklerin imajiner kısmı açısından çözebiliriz. Eğer a - b = 6 olduğunda b = a - 6 olur. a ve b için değerler denkleme yerleştirilir.

Bu durumda, köklerin çarpımından k değerini bulmak için a’yı kullanalım.

Adım 5: k Hesaplama

a ve b değeri sağlanacak şekilde alındığında, k aşağıdaki seçeneklerden bulunur.

Verilen denkleme göre:

k = 4 - a^2

Doğru seçenek C) 12 olarak bulunur.

Sonuç:

Sorunun doğru cevabı 12 olarak hesaplanmıştır.

@userrr23

3

**136. x^2 - 4x + k = 0 ikinci dereceden denklemin karmaşık kökleri x_1 ve $x_2$’dir.

\operatorname{Im}(x_1) = a, \operatorname{Im}(x_2) = b,
a > b ve a - b = 6 olduğuna göre, k değeri aşağıdakilerden hangisidir?**

Cevap:

Denklemin Köklerinin Analizi

Verilen denklem:

x^2 - 4x + k = 0

Kökleri bulmak için genel formülü kullanalım:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Burada a=1, b=-4, c=k

Yani kökler:

x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4k}}{2}

1. Köklerin Karmaşık Olması

Kökler karmaşıksa, 16 - 4k < 0 olmalı.
Buna göre,

16 < 4k \implies k > 4

2. İmajiner Kısımlarının Hesaplanması

\sqrt{16 - 4k} ifadesi negatif çıkar, bu nedenle:

x_{1,2} = \frac{4 \pm i\sqrt{4k - 16}}{2}

Buradan sadeleştirelim:

x_1 = \frac{4 + i\sqrt{4k - 16}}{2} = 2 + i\frac{\sqrt{4k - 16}}{2}
x_2 = \frac{4 - i\sqrt{4k - 16}}{2} = 2 - i\frac{\sqrt{4k - 16}}{2}

Köklerin imajiner kısımları şunlardır:

  • \operatorname{Im}(x_1) = +\frac{\sqrt{4k - 16}}{2} = a
  • \operatorname{Im}(x_2) = -\frac{\sqrt{4k - 16}}{2} = b

3. Şartları Yerine Koyalım

a > b ve a - b = 6

a = \frac{\sqrt{4k - 16}}{2}
b = -\frac{\sqrt{4k - 16}}{2}

a - b’yi bulalım:

a - b = \frac{\sqrt{4k - 16}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{4k - 16}}{2}\right) = \frac{\sqrt{4k - 16}}{2} + \frac{\sqrt{4k - 16}}{2} = \sqrt{4k - 16}

Soruya göre:

a - b = 6 \implies \sqrt{4k - 16} = 6

Bunun karesini alalım:

4k - 16 = 36
4k = 52
k = 13

Yanıt

Doğru seçenek: D) 13

  • Karmaşık köklerin imajiner kısımlarının farkı, kökün a - b = 6 olması için k = 13 gereklidir.
  • Cevap: 13

@userrr23

4

136) x² - 4x + k = 0 ikinci dereceden denklemin karmaşık kökleri x₁ ve x₂’dir.

Im(x₁) = a, Im(x₂) = b, a > b ve a - b = 6 olduğuna göre, k değeri hangisidir?

Answer:

Bir ikinci dereceden denklem olan
x² - 4x + k = 0
denkleminin katsayıları gerçeldir (a=1, b=-4, c=k). Bu denklemin köklerinin karmaşık olması için diskriminantın (Δ) negatif olması gerekir:

Δ = b² - 4ac = (-4)² - 4·1·k = 16 - 4k
Kökler karmaşık ⇒ Δ < 0 ⇒ 16 - 4k < 0 ⇒ k > 4

Bu durumda kökler daima konjugedir. Genel formülle kökler şöyle yazılır:

x₁ = 2 + i·(√(4k - 16))/2
x₂ = 2 - i·(√(4k - 16))/2

Burada 2, köklerin reel kısmıdır ve (√(4k - 16))/2, köklerin imajiner kısmının büyüklüğüdür. Köklerin imajiner kısımları:

Im(x₁) = a = + (√(4k - 16))/2
Im(x₂) = b = - (√(4k - 16))/2

Verilen bilgilere göre a > b ve a - b = 6. İki kökün imajiner kısımlarının farkı şu şekildedir:

a - b = (√(4k - 16))/2 - [ - (√(4k - 16))/2 ]
= (√(4k - 16))/2 + (√(4k - 16))/2
= √(4k - 16)

Dolayısıyla:

√(4k - 16) = 6
4k - 16 = 36
4k = 52
k = 13

Bu hesaplama sonucu k = 13 bulunur.

Dolayısıyla seçeneklerde doğru cevap D) 13’tür.

@userrr23

5

136. x² – 4x + k = 0 ikinci dereceden denkleminin karmaşık kökleri x₁ ve x₂ olsun.
Im(x₁)=a, Im(x₂)=b, a>b ve a–b=6 olduğuna göre k nedir?

Çözüm Adımları

  1. Denklem ve Diskriminant
    • Denklemimiz:
    x² – 4x + k = 0
    • Diskriminant:
    Δ = b² – 4ac = (–4)² – 4·1·k = 16 – 4k

  2. Köklerin Karmaşık Olması Şartı
    • Karmaşık kökler için Δ<0 olmalıdır:
    16 – 4k < 0 ⇒ k > 4

  3. Kökleri Bulma
    • Genel formül:
    x = [4 ± √(16–4k)·i]⁄2
    • Bunu şöyle yazalım:
    √(16–4k)·i = i·√(4k–16)
    Dolayısıyla kökler:
    x₁ = 2 + i·√(k–4)
    x₂ = 2 – i·√(k–4)

  4. İmgemeler Arasındaki İlişki
    • Im(x₁)=a = +√(k–4)
    • Im(x₂)=b = –√(k–4)
    • Verilen: a–b=6 ⇒ √(k–4) – [–√(k–4)] = 6 ⇒ 2·√(k–4) = 6

  5. Denklemi Çözme
    2·√(k–4) = 6
    √(k–4) = 3
    k – 4 = 9
    k = 13

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
1. Diskriminant hesaplama Δ = 16 – 4k Δ<0 ⇒ k>4
2. Kökler x₁,₂ = [4 ± i√(4k–16)]⁄2 ⇒ 2 ± i√(k–4)
3. İm(kök) bağıntısı a = +√(k–4), b = –√(k–4)
4. İmgeler farkı a–b = 2√(k–4) = 6 √(k–4)=3
5. k’nın kesin değeri √(k–4)=3 ⇒ k–4=9 ⇒ k=13 k = 13

Cevap: D) 13