Eşkenar Dörtgende Alan ve Kenar İlişkisi Sorusu

YKS TYT
1
  1. Aşağıdaki eşkenar dörtgenin iç bölgesinde alinan
    kirmızı noktanın eşkenar dörtgenin iki köşesi ile
    birleştirilmesiyle oluşan sarı boyalı üçgensel bölgenin
    alanı, eşkenar dörtgenin alanının altida birine eşittir.
    Bu nokta, eşkenar dörtgenin alt kenarı üzerindeki bir
    nokta ile birleştirildiğinde oluşan kırmizı renkli doğru
    parçası eşkenar dörtgenin diğer iki kenarına paralel
    olmaktadır.
    Kirmızı doğru parçasinin uzunluğu 12 birim olduğu-
    na göre, eşkenar dörtgenin çevresi kaç birimdir?
    A) 60
    B) 64
    C) 80
    D) 76
    E) 72

Soru Görseli
Soru Görseli799×814 64 KB

2

Eşkenar Dörtgende Alan ve Kenar İlişkisi Sorusu

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜLLER:]

  1. Eşkenar Dörtgenin Alanı: Alan = a \cdot h (Taban \times Yükseklik)
  2. Üçgenin Alanı: Alan = \frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2}
  3. Eşkenar Dörtgenin Çevresi: Çevre = 4a

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — Değişkenlerin Tanımlanması
Eşkenar dörtgenin bir kenar uzunluğuna a, bu kenara ait yüksekliğe ise h diyelim. Bu durumda eşkenar dörtgenin toplam alanı A = a \cdot h olur.

Adım 2 — Sarı Bölgenin Alan Denklemi
Sarı boyalı üçgenin tabanı, eşkenar dörtgenin üst kenarıdır (yani uzunluğu a’dır). Kırmızı noktanın üst kenara olan dik uzaklığına h_1 dersek, sarı üçgenin alanı:

Alan_{\text{sarı}} = \frac{a \cdot h_1}{2}

Soruda bu alanın, tüm alanın altıda birine (\frac{a \cdot h}{6}) eşit olduğu verilmiştir:

\frac{a \cdot h_1}{2} = \frac{a \cdot h}{6} \implies h_1 = \frac{h}{3}

Adım 3 — Kırmızı Doğru Parçasının Analizi
Kırmızı doğru parçası, eşkenar dörtgenin yan kenarlarına paraleldir. Bu durum, kırmızı noktanın alt kenara olan uzaklığının, aslında eşkenar dörtgenin yüksekliğinin geri kalan kısmı olduğunu gösterir. Kırmızı noktanın üst kenara uzaklığı h_1 = \frac{h}{3} ise, alt kenara olan dik uzaklığı:

h_2 = h - \frac{h}{3} = \frac{2h}{3}

Kırmızı doğru parçasının uzunluğu (12 birim), yan kenarlara paralel olduğu için alt tabanda benzerlik oluşturur. Eşkenar dörtgende yan kenara paralel çizilen bu doğru parçası, aslında kenar uzunluğu ile yükseklik oranına sadıktır. Burada oluşan benzerlikten dolayı, kırmızı doğru parçası (12), kenar uzunluğu (a) ile şu orana sahiptir:

\frac{12}{a} = \frac{h_2}{h} \implies \frac{12}{a} = \frac{2h/3}{h} = \frac{2}{3}

Adım 4 — Kenar Uzunluğunun Bulunması
Yukarıdaki orantıyı çözelim:

2a = 3 \times 12 \implies 2a = 36 \implies a = 18 \text{ birim}

Adım 5 — Çevrenin Hesaplanması
Eşkenar dörtgenin dört kenarı da birbirine eşittir:

Çevre = 4 \cdot a = 4 \cdot 18 = 72 \text{ birim}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] 72 (E Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Benzerlik ve Yükseklik Oranı

  • [Tanım:] Bir geometrik şekilde tabana veya yan kenara çekilen paraleller, yüksekliklerle doğru orantılıdır.
  • [Bu problemde:] Kırmızı noktanın yüksekliği toplam yüksekliğin \frac{2}{3}'ü olduğu için, paralel doğru parçası da kenarın \frac{2}{3}'ü kadardır.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Alan Oranını Yanlış Kullanmak

  • [Yanlış:] Üçgenin alanını a \cdot h / 6 yerine direkt h/6 olarak düşünmek.
  • [Doğru:] Üçgenin alanı taban ve yüksekliğin çarpımının yarısıdır, bu yüzden oranlamada \frac{1}{2} çarpanı unutulmamalıdır.
  • [Neden yanlış:] Formül eksikliği yükseklik oranını \frac{1}{3} yerine \frac{1}{6} bulmanıza sebep olur.

Bu soruda benzerlik oranlarını kullanarak kenar uzunluğuna ulaştık. Benzer mantıkla farklı bir geometri sorusu çözmemi ister misin?