- Her gerçek sayisı için
2r-4 = az(r - 1) + bx(r + 1) + c(r-1)
olduğuna göre, abc çarpnı kaçtır?
Polinom Eşitliği ile Katsayılar Çarpımını Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Her x \in \mathbb{R} için iki ifadenin birbirine eşit olması, bu iki ifadenin özdeş (aynı polinom) olduğunu gösterir. Bu tür sorularda bilinmeyen katsayıları bulmak için terimleri sıfır yapan uygun x değerleri (kökler) verilebilir:
P(x) = Q(x) \implies \text{Her } x \text{ değeri için eşitlik sağlanır.}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — x = 0 değerini vererek c katsayısını bulma
x = 0 yazıldığında a ve b’li terimlerin çarpanlarında x bulunduğu için bu terimler sıfırlanır:
2(0) - 4 = a \cdot 0 \cdot (0 - 1) + b \cdot 0 \cdot (0 + 1) + c(0^2 - 1)
-4 = c \cdot (-1)
c = 4
Adım 2 — x = 1 değerini vererek b katsayısını bulma
x = 1 yazıldığında (x - 1) ve (x^2 - 1) çarpanları sıfır olacağından a ve c’li terimler yok olur:
2(1) - 4 = a \cdot 1 \cdot (1 - 1) + b \cdot 1 \cdot (1 + 1) + c(1^2 - 1)
-2 = 2b
b = -1
Adım 3 — x = -1 değerini vererek a katsayısını bulma
x = -1 yazıldığında (x + 1) ve (x^2 - 1) çarpanları sıfır olacağından b ve c’li terimler yok olur:
2(-1) - 4 = a \cdot (-1) \cdot (-1 - 1) + b \cdot (-1) \cdot (-1 + 1) + c((-1)^2 - 1)
-6 = a \cdot (-1) \cdot (-2)
-6 = 2a
a = -3
Adım 4 — a \cdot b \cdot c çarpımını hesaplama
Bulunan değerleri yerlerine yazıp çarpalım:
a \cdot b \cdot c = (-3) \cdot (-1) \cdot 4
a \cdot b \cdot c = 12
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 12
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Özdeşlik ve Değer Verme Yöntemi: Eşitliğin her x reel sayısı için sağlanması durumunda, parantez içlerini sıfır yapan kritik değerleri seçmek, tüm parantezleri dağıtıp denklem sistemi çözmekten çok daha hızlı ve pratik bir yöntemdir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: İfadeleri tek tek dağıtıp (ax^2 - ax + bx^2 + bx + cx^2 - c) üç bilinmeyenli denklem sistemi kurmaya çalışarak işlem hatası yapmak veya zaman kaybetmek.- Doğru Yaklaşım: Çarpanları sıfıra eşitleyen x = 0, x = 1 ve x = -1 değerlerini vererek her katsayıyı doğrudan ve bağımsız olarak bulmak.
Benzer bir polinom eşitliği sorusu çözerek bu pratik yöntemi pekiştirmek ister misin?