Esitsizliklerinden hangileri her zaman doğrudur?

YKS TYT
1
  1. xE(olmak üzere,
    I. sin2x > cos2x
    |II. tan4x > cot4x
    II, cos6x > tan6xX
    esitsizliklerinden hangileri her zaman doğrudur?
    A) Yalnız I
    D) I ve ll
    B) Yalnız II
    C) l ve ll
    E) I, Il ve lIl|
    Diğer sAvfava gecinlz.

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli1024×733 45.7 KB

2

Esitsizliklerinden hangileri her zaman doğrudur?

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / BİLGİ:
Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre değerleri ve birim çember üzerindeki sıralamaları kullanılır.

  • 45^\circ ile 90^\circ arasında \sin \alpha > \cos \alpha durumundadır.
  • \tan \alpha > \cot \alpha olması için açının 45^\circ < \alpha < 90^\circ veya 225^\circ < \alpha < 270^\circ gibi bölgelerde olması gerekir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Verilen aralık: x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}\right), yani 45^\circ < x < 60^\circ arasındadır.

Adım 1 — Birinci Öncülün Analizi (I. \sin 2x > \cos 2x)

  • x açısı 45^\circ < x < 60^\circ ise, 2x açısı 90^\circ < 2x < 120^\circ aralığındadır.
  • Bu aralık 2. Bölgeye denk gelir.
    1. bölgede \sin değerleri pozitif (+), \cos değerleri ise negatiftir (-).
  • Pozitif bir sayı her zaman negatif bir sayıdan büyüktür. Dolayısıyla \sin 2x > \cos 2x ifadesi her zaman doğrudur.

Adım 2 — İkinci Öncülün Analizi (II. \tan 4x > \cot 4x)

  • x açısı 45^\circ < x < 60^\circ ise, 4x açısı 180^\circ < 4x < 240^\circ aralığındadır.
  • Bu aralık 3. Bölgeye denk gelir.
    1. bölgede hem \tan hem \cot pozitiftir. Ancak \tan \alpha > \cot \alpha olması için açının 225^\circ ile 270^\circ arasında olması gerekir.
  • Bizim aralığımız 180^\circ ile 240^\circ arasını kapsadığı için (örneğin 4x = 190^\circ iken \cot 190^\circ > \tan 190^\circ olur), bu ifade her zaman doğru değildir.

Adım 3 — Üçüncü Öncülün Analizi (III. \cos 6x > \tan 6x)

  • x açısı 45^\circ < x < 60^\circ ise, 6x açısı 270^\circ < 6x < 360^\circ aralığındadır.
  • Bu aralık 4. Bölgeye denk gelir.
    1. bölgede \cos pozitiftir (+), \tan ise negatiftir (-).
  • Pozitif bir sayı, negatif bir sayıdan daima büyüktür. Bu nedenle \cos 6x > \tan 6x ifadesi her zaman doğrudur.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: D) I ve III
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Trigonometrik Bölgeler

  • Tanım: Birim çemberin dört çeyreğe ayrılmasıdır.
  • Bu problemde: Açıların katları alındığında hangi bölgeye düştüklerini belirlemek için kullanılmıştır.

2. Fonksiyon İşaretleri

  • Tanım: \sin, \cos, \tan, \cot değerlerinin bölgelere göre + veya - olmasıdır.
  • Bu problemde: Özellikle 2. ve 4. bölgelerdeki işaret zıtlıkları sorunun hızlı çözümünü sağlamıştır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Bölgeleri Karıştırmak

  • Yanlış: 4x açısını 2. bölgede sanmak.
  • Doğru: Sınır değerlerini çarparak (4 \times 45 = 180, 4 \times 60 = 240) 3. bölgeyi netleştirmek.
  • Neden Yanlış: Yanlış bölge, yanlış işaret ve hatalı kıyaslama demektir.

Bu çözümde takıldığın veya bölgelerle ilgili daha detaylı açıklamamı istediğin bir kısım var mı?