(\frac{1}{5})^{5x+8} \leq (0,008)^{x+2}
49^{6x-11} < 343^{4+3x}
eşitsizlik sisteminin çözüm kümesindeki tam sayıların toplamını bulunuz.
5. (7x-4)^6 = (8-5x)^6 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Üslü Eşitsizlik Sistemi ve Çift Dereceli Üslü Denklemlerin Çözümü
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Tabanı a > 1 olan üslü ifadelerde a^f(x) \leq a^g(x) \iff f(x) \leq g(x) olur (Eşitsizlik yön değiştirmez).
- n pozitif bir tam sayı olmak üzere; A^{2n} = B^{2n} \iff A = B \text{ veya } A = -B kuralı geçerlidir.
4. Sorunun Çözümü
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Birinci Eşitsizliği Aynı Tabanda Yazma ve Çözme
Ondalık ve rasyonel sayıları 5 tabanında kuvvet olarak ifade edelim:
\frac{1}{5} = 5^{-1} \quad \text{ve} \quad 0{,}008 = \frac{8}{1000} = \frac{1}{125} = 5^{-3}
Bu değerleri eşitsizlikte yerine yazalım:
(5^{-1})^{5x+8} \leq (5^{-3})^{x+2}
5^{-5x-8} \leq 5^{-3x-6}
Taban (5 > 1) olduğundan üsler arasındaki sıralama korunur:
-5x - 8 \leq -3x - 6
-8 + 6 \leq -3x + 5x
-2 \leq 2x \implies x \geq -1
Adım 2 — İkinci Eşitsizliği Aynı Tabanda Yazma ve Çözme
Tabanları 7 cinsinden yazalım (49 = 7^2 ve 343 = 7^3):
(7^2)^{6x-11} < (7^3)^{4+3x}
7^{12x-22} < 7^{12+9x}
Taban (7 > 1) olduğu için üsleri kıyaslayalım:
12x - 22 < 12 + 9x
12x - 9x < 12 + 22
3x < 34 \implies x < \frac{34}{3} \quad (11{,}33\dots)
Adım 3 — Eşitsizlik Sisteminin Ortak Çözümünü ve Tam Sayı Toplamını Bulma
İki eşitsizliğin kesişim aralığı:
-1 \leq x < \frac{34}{3}
Bu aralıktaki tam sayılar:
\{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}
Bu tam sayıların toplamı:
\text{Toplam} = (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11
-1 \text{ ile } +1 \text{ birbirini götürür:}
\text{Toplam} = 2 + 3 + 4 + \dots + 11 = \frac{11 \cdot 12}{2} - 1 = 66 - 1 = 65
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP (4. Soru): 65
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
5. Sorunun Çözümü
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Çift Dereceli Kuvvet Özelliğini Uygulama
(7x-4)^6 = (8-5x)^6
Kuvvet çift (6) olduğundan tabanlar ya birbirine eşit olmalıdır ya da birbirinin ters işaretlisine (zıt işaretlisine) eşit olmalıdır.
- 1. Durum (A = B):
7x - 4 = 8 - 5x
7x + 5x = 8 + 4
12x = 12 \implies x = 1
- 2. Durum (A = -B):
7x - 4 = -(8 - 5x)
7x - 4 = -8 + 5x
7x - 5x = -8 + 4
2x = -4 \implies x = -2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP (5. Soru): \{-2, 1\}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Taban Değişimi: Ondalık sayıları rasyonel hale getirip asal çarpan tabanında yazmak üslü denklemlerin en temel anahtarıdır.
- Çift Kuvvetli Denklemler: x^{2n} = y^{2n} biçimindeki ifadelerde negatif kök durumunu (x = -y) unutmamak gerekir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: (7x-4)^6 = (8-5x)^6 denkleminde yalnızca 7x-4 = 8-5x eşitliğini alıp tek bir kök bulmak.- Doğru Yaklaşım: Çift kuvvetlerde mutlak değer mantığı geçerli olduğu için ifadenin eksilisini de (7x-4 = -(8-5x)) mutlaka çözüme dahil etmektir.
Bu kuralları pekiştirmek adına benzer bir üslü eşitsizlik sorusu daha çözmek ister misin?
@Akademik_Rehber Cevabı uzun değil de kısaca yaz
4. ve 5. Soruların Kısa Çözümü
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Taban a > 1 ise: a^f(x) \leq a^g(x) \iff f(x) \leq g(x)
- Derece çift ise: A^{2n} = B^{2n} \iff A = B \text{ veya } A = -B
ÇÖZÜM ADIMLARI:
4. Soru
Adım 1 — Eşitsizlikleri Çözme
- 1. Eşitsizlik (5 tabanında):(5^{-1})^{5x+8} \leq (5^{-3})^{x+2} \implies -5x - 8 \leq -3x - 6 \implies x \geq -1
- 2. Eşitsizlik (7 tabanında):(7^2)^{6x-11} < (7^3)^{4+3x} \implies 12x - 22 < 12 + 9x \implies 3x < 34 \implies x < \frac{34}{3} \approx 11{,}33
Adım 2 — Ortak Aralık ve Toplam
-1 \leq x \leq 11
Tam sayılar: \{-1, 0, 1, 2, \dots, 11\}
\text{Toplam} = (-1) + 0 + 1 + (2 + 3 + \dots + 11) = 65
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP (4. Soru): 65
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
5. Soru
Adım 1 — Kökleri Bulma
Kuvvet çift (6) olduğu için:
- 7x - 4 = 8 - 5x \implies 12x = 12 \implies x = 1
- 7x - 4 = -(8 - 5x) \implies 7x - 4 = 5x - 8 \implies 2x = -4 \implies x = -2
\text{Çözüm Kümesi} = \{-2, 1\}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP (5. Soru): \{-2, 1\}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Çift Kuvvet Eşitliği: Tabanların mutlak değerce eşit olması gerektiğinden hem pozitif hem negatif eşitlik incelenir.
SIK YAPILAN HATALAR:
- Hatalı Yaklaşım: Çift kuvvetlerde yalnızca A = B eşitliğini çözüp negatif kökü (x = -2) atlamak.
- Doğru Yaklaşım: Üs çift ise A = -B durumunu da mutlaka denkleme dahil etmektir.
Anlaşılmayan bir işlem adımı var mı, yoksa yeni bir soruya geçelim mi?
@sorumatik_ai Cevabı uzun değil de kısaca yaz
4. ve 5. Soruların Özet Çözümü
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Taban a > 1 için: a^f \leq a^g \iff f \leq g
- Çift üs için: A^{2n} = B^{2n} \iff A = \pm B
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — 4. Sorunun Çözümü
- 1. Eşitsizlik:5^{-(5x+8)} \leq 5^{-3(x+2)} \implies -5x - 8 \leq -3x - 6 \implies x \geq -1
- 2. Eşitsizlik:7^{2(6x-11)} < 7^{3(4+3x)} \implies 12x - 22 < 12 + 9x \implies x < \frac{34}{3} \approx 11{,}3
- Aralıktaki Tam Sayılar: \{-1, 0, 1, 2, \dots, 11\}\text{Toplam} = (-1) + 0 + 1 + 2 + \dots + 11 = 65
Adım 2 — 5. Sorunun Çözümü
Üs çift olduğundan:
-
7x - 4 = 8 - 5x \implies 12x = 12 \implies x = 1
-
7x - 4 = -(8 - 5x) \implies 2x = -4 \implies x = -2
\text{Çözüm Kümesi} = \{-2, 1\}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
- 4. Soru: 65
- 5. Soru: \{-2, 1\}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Taban Eşitleme: Farklı tabandaki üslü ifadeleri asal taban kuvveti olarak yazıp üsleri kıyaslama.
SIK YAPILAN HATALAR:
- Hatalı Yaklaşım: 5. soruda eksili durumu unutup yalnızca x = 1 bulmak.
- Doğru Yaklaşım: Çift kuvvetlerde A = -B durumunu da çözüme eklemek.
Farklı bir soru çözmek ister misin?
@sorumatik_ai Cevabı uzun değil de kısaca yaz
4. ve 5. Soruların En Kısa Çözümü
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- a > 1 \implies (a^x \leq a^y \iff x \leq y)
- x^{2n} = y^{2n} \iff x = \pm y
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — 4. Soru
- 5^{-5x-8} \leq 5^{-3x-6} \implies x \geq -1
- 7^{12x-22} < 7^{12+9x} \implies 3x < 34 \implies x < 11{,}3
- Ortak Çözüm: x \in \{-1, 0, 1, 2, \dots, 11\}
\text{Toplam} = (-1) + 0 + 1 + 2 + \dots + 11 = 65
Adım 2 — 5. Soru
- 7x - 4 = 8 - 5x \implies 12x = 12 \implies x = 1
- 7x - 4 = -(8 - 5x) \implies 2x = -4 \implies x = -2
\text{Çözüm Kümesi} = \{-2, 1\}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
- 4. Soru: 65
- 5. Soru: \{-2, 1\}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Çift Kuvvet: Tabanlar mutlak değerce birbirine eşittir (A = \pm B).
SIK YAPILAN HATALAR:
- Hatalı Yaklaşım: Çift kuvvette negatif durumu (x = -2) unutmak.
- Doğru Yaklaşım: Hem artı hem eksi kökü hesaplamak.
Başka bir soruyu çözmemi ister misin?