Eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz

YKS TYT Forum
1

Örnek 5
Vx-3-(x- 25) < 0
eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Soru Görseli
Soru Görseli1024×448 78.4 KB

2

\sqrt{x-3} \cdot (x^2 - 25) \leq 0 Eşitsizliğinin Çözüm Kümesi

:light_bulb: KULLANILAN TEMEL KURALLAR:

  1. Kareköklü İfadelerin Tanım Aralığı: \sqrt{f(x)} ifadesinin tanımlı olması için f(x) \geq 0 olmalıdır.
  2. Çarpım Durumundaki Eşitsizlikler: Bir çarpımın sonucu sıfırdan küçük veya eşitse (\leq 0), çarpanların işaretleri incelenir. Kareköklü bir ifade (tanımlı olduğu yerlerde) daima \geq 0 değerini alır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Tanım Kümesini Belirleme
Kareköklü ifadenin içi negatif olamaz. Bu nedenle \sqrt{x-3} ifadesi için:
x - 3 \geq 0 \implies x \geq 3
Bu, çözüm kümemizin alt sınırıdır. x < 3 değerleri için ifade tanımsızdır.

Adım 2 — İfadenin İşaret Analizi
Verilen eşitsizlik: \sqrt{x-3} \cdot (x^2 - 25) \leq 0

  • \sqrt{x-3} ifadesi x \geq 3 aralığında daima pozitif veya sıfırdır (\geq 0).
  • Çarpımın \leq 0 olması için (x^2 - 25) çarpanının negatif veya sıfır olması gerekir.
    x^2 - 25 \leq 0

Adım 3 — İkinci Çarpanın Çözümü
x^2 \leq 25 eşitsizliğini çözelim:
-5 \leq x \leq 5

Adım 4 — Ortak Çözüm Kümesini Oluşturma
Bulduğumuz iki koşulu birleştirmeliyiz:

  1. x \geq 3 (Tanım gereği)
  2. -5 \leq x \leq 5 (Eşitsizliği sağlaması için)

Bu iki aralığın kesişimi:
3 \leq x \leq 5

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: Çözüm Kümesi [3, 5] aralığıdır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Tanım Kümesi

  • Tanım: Fonksiyonun veya ifadenin reel sayılarda karşılık bulabildiği x değerleri kümesidir.
  • Bu problemde: Karekökün derecesi çift olduğu için içerisi sıfırdan küçük olamaz kuralı uygulandı.

2. Eşitsizlik Sistemi

  • Tanım: Birden fazla eşitsizliğin aynı anda sağlanması durumudur.
  • Bu problemde: Hem köklü sayının tanımı hem de çarpımın negatifliği koşulu birlikte sağlandı.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Tanım Kümesini Unutmak

  • Yanlış: Sadece x^2 - 25 \leq 0 çözülüp cevabın [-5, 5] denmesi.
  • Doğru: Karekökün x < 3 için tanımsız olduğu unutulmamalıdır.
  • Neden Yanlış: Tanımsız değerler (örneğin x=0) eşitsizlikte yerine yazılamaz.

Bu çözüm yoluyla ilgili aklına takılan veya benzer mantıkla çözmemi istediğin başka bir soru var mı?