(x - 2)(x - 3)(x - 4) > (x - 2)(x - 3)
eşitsizliğini sağlayan en küçük iki farklı tam sayının toplamı kaçtır?
A) 5
B) 8
C) 11
D) 13
E) 15
Eşitsizlik Çözümü ve Tam Sayı Değerleri Toplamı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Eşitsizliklerde sadeleştirme yapılmaz; tüm terimler tek tarafa toplanarak ortak çarpan parantezine alınır:P(x) - Q(x) > 0
- Elde edilen çarpanların kökleri bulunarak işaret tablosu oluşturulur.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Tüm İfadeleri Sol Tarafa Toplama ve Ortak Paranteze Alma
Sağdaki ifadeyi eşitsizliğin soluna geçirip ortak çarpan olan (x - 2)(x - 3) parantezine alalım:
(x - 2)(x - 3)(x - 4) - (x - 2)(x - 3) > 0
(x - 2)(x - 3)\big[(x - 4) - 1\big] > 0
(x - 2)(x - 3)(x - 5) > 0
Adım 2 — Kökleri Belirleme ve İşaret Tablosunu Oluşturma
Çarpanların sıfır olduğu değerler (tek katlı kökler):
x_1 = 2, \quad x_2 = 3, \quad x_3 = 5
İşaret incelemesi için en büyük dereceli terimlerin katsayıları çarpımı pozitiftir (+). En sağdan (+) işareti ile başlanarak tek katlı köklerde işaret değiştirilir:
| Aralık | (-\infty, 2) | (2, 3) | (3, 5) | (5, \infty) |
|---|---|---|---|---|
| İşaret | - | + | - | + |
İfadenin sıfırdan büyük (>0) olduğu aralıklar:
x \in (2, 3) \cup (5, \infty)
Adım 3 — Eşitsizliği Sağlayan En Küçük İki Tam Sayıyı Bulma
- (2, 3) açık aralığında hiçbir tam sayı yoktur.
- Dolayısıyla eşitsizliği sağlayan en küçük tam sayılar (5, \infty) aralığından seçilmelidir:\text{En küçük birinci tam sayı} = 6\text{En küçük ikinci tam sayı} = 7
Bu iki tam sayının toplamı:
6 + 7 = 13
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D — 13
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Ortak Çarpan Parantezi: Eşitsizlik sorularında değişken içeren ifadeleri doğrudan sadeleştirmek kök ve işaret kaybına yol açar; bu nedenle tüm terimler aynı tarafa alınıp çarpanlarına ayrılır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Eşitsizliğin her iki tarafını (x - 2)(x - 3) ifadesine bölerek sadeleştirmek. Bu işlem, ifadenin negatif olabileceği aralıkları ve eşitsizlik yön değiştirmesini göz ardı eder.- Doğru Yaklaşım: Sadeleştirme yerine çıkarma işlemi yaparak ifadeyi sıfırla kıyaslamak ve işaret tablosu kullanmak.
Benzer bir eşitsizlik sorusu çözerek konuyu daha da pekiştirmek ister misin?