- Birbirinden farklı a, b, c ve d tam sayıları
• |a - b| = |b - c| = |c - d|
• |a + d| + |b + c| = 0
eşitliklerini sağlamaktadır.
Buna göre (a - d) dot (c - a) ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) -108
B) -96
C) -84
D) -72
E) -60
Birbirinden Farklı Tam Sayılar İçin (a - d) \cdot (c - a) İfadesinin Değerini Bulma
KULLANILAN KURAL VE FORMÜLLER:
-
Mutlak Değer Toplamının Sıfır Olması:
\forall x, y \in \mathbb{R}, \quad |x| + |y| = 0 \iff x = 0 \text{ ve } y = 0 -
İki Sayı Arasındaki Uzaklık:
|x - y| = k \iff x - y = k \quad \text{veya} \quad x - y = -k
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Mutlak Değer Eşitliğinden Değişken Bağıntılarını Bulma
Mutlak değerli iki ifadenin toplamı sıfır ise her iki ifadenin içi de ayrı ayrı sıfıra eşit olmalıdır:
|a + d| + |b + c| = 0
a + d = 0 \implies d = -a
b + c = 0 \implies c = -b
Adım 2 — Uzaklık Eşitliklerini b Cinsinden İfade Etme
Verilen |a - b| = |b - c| = |c - d| eşitliğinde c = -b yazalım:
|b - c| = |b - (-b)| = |2b| = 2|b|
Buna göre tüm mutlak farklar 2|b| değerine eşit olmalıdır:
|a - b| = 2|b|
Adım 3 — a ve b Arasındaki İlişkiyi Belirleme
Sayılar birbirinden farklı tam sayılar olduğundan b \neq 0 olmalıdır.
|a - b| = 2|b| eşitliğini çözelim:
- Durum 1: a - b = 2b \implies a = 3b
- Durum 2: a - b = -2b \implies a = -b
Eğer a = -b olursa a = c olur; ancak a, b, c, d sayılarının birbirinden farklı olduğu belirtilmiştir. Bu nedenle a = 3b olmak zorundadır.
Tüm değişkenleri b cinsinden yazarsak:
- a = 3b
- b = b
- c = -b
- d = -a = -3b
(b \neq 0 olduğu sürece 3b, b, -b, -3b değerlerinin tamamı birbirinden farklıdır.)
Adım 4 — İstenen Çarpımı b Cinsinden Hesaplama
Bizden istenen (a - d) \cdot (c - a) ifadesinde bulduğumuz değerleri yerine yazalım:
a - d = 3b - (-3b) = 6b
c - a = -b - 3b = -4b
(a - d) \cdot (c - a) = (6b) \cdot (-4b) = -24b^2
Adım 5 — Seçenekleri b \in \mathbb{Z}^+ İçin İnceleme
b bir tam sayı olduğuna göre b^2 bir pozitif tam karenin (1, 4, 9, 16, \dots) değerini almalıdır:
- b^2 = 1 \implies -24 \cdot 1 = -24
- b^2 = 4 \implies -24 \cdot 4 = -96
- b^2 = 9 \implies -24 \cdot 9 = -216
Seçenekler incelendiğinde -96 değerinin B şıkkında yer aldığı görülür.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) -96
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Mutlak Değerin Tanımı ve Pozitifliği
- Tanım: Bir gerçel sayının sıfıra olan uzaklığıdır ve hiçbir zaman negatif olamaz (|x| \ge 0).
- Bu problemde: İki mutlak değerin toplamı 0 olduğundan, her bir mutlak değerli ifadenin içinin ayrı ayrı 0 olması gerektiği kuralı kullanılmıştır.
2. Elemanların Ayrıklığı (Birbirinden Farklı Olması)
- Tanım: Bir denklem kümesinde köklerin çakışmaması koşuludur.
- Bu problemde: a = -b durumunun a = c çelişkisi yaratması sebebiyle elenmesini sağlamıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
a = -b İhtimalini Dahil Etmek
- Yanlış: |a - b| = 2|b| eşitliğinden a = -b alıp c = -b ile a = c eşitliğini gözden kaçırmak.
- Doğru: Sorunun başında verilen “birbirinden farklı” şartını kontrol ederek bu durumu elemek.
- Neden yanlış: Sayıların farklı olması koşulu çiğnenmiş olur.
Bu çözümde takıldığın bir adım var mı, yoksa benzer bir mutlak değer sorusuyla pratik yapmak ister misin?