(3x - 1)(% +1) + (3x- 1)(x-2) = 0
eşitliğini sağlayan x gerçel sayılarinin toplamı kactır?
B)
D)
(
(3x - 1)(x + 1) + (3x - 1)(x - 2) = 0 Denkleminin Çözümü
KULLANILAN YÖNTEM: Ortak Çarpan Parantezine Alma
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Ortak Çarpanın Belirlenmesi
Verilen denklemde (3x - 1) ifadesinin her iki terimde de ortak olduğunu görüyoruz. Denklemi daha kolay çözmek için bu ortak çarpan parantezine alalım.
(3x - 1) \cdot [(x + 1) + (x - 2)] = 0
Adım 2 — Parantez İçindeki İfadenin Düzenlenmesi
Köşeli parantez içindeki ifadeleri toplayalım:
(3x - 1) \cdot (x + 1 + x - 2) = 0
(3x - 1) \cdot (2x - 1) = 0
Adım 3 — Köklerin Bulunması
Çarpımın sonucunun sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfıra eşit olması gerekir.
- Çarpan: 3x - 1 = 0 \implies 3x = 1 \implies x_1 = \frac{1}{3}
- Çarpan: 2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x_2 = \frac{1}{2}
Adım 4 — Gerçel Sayıların Toplamı
Bulduğumuz x değerlerini toplayalım. Payda eşitlemek için \frac{1}{3}'ü 2 ile, \frac{1}{2}'yi 3 ile genişletelim:
\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) \frac{5}{6}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Ortak Çarpan Parantezi
- Tanım: İki veya daha fazla terimde bulunan aynı çarpanın dışarıya alınmasıdır.
- Bu problemde: Denklemi dağıtıp ikinci dereceden denklem formuna getirmek yerine (3x-1) parantezine alarak çözümü kısalttık.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sadeleştirme Hatası
- Yanlış: Her iki tarafı (3x-1)'e bölerek köklerden birini yok etmek.
- Doğru: İfadeyi sıfıra eşitleyip tüm kökleri bulmak.
- Neden yanlış: Bir ifadeyi bilinmeyen içeren bir terime bölerseniz, o terimi sıfır yapan kökü kaybetmiş olursunuz.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir çarpanlara ayırma sorusu çözmemi ister misin?