Eşit kare bölmeli düzlemde bulunan, ışık şiddeti I olan noktasal ışık kaynağının A, B ve C noktalarında oluşturduğu aydınlanma şiddetleri sırasıyla E_{A}, E_{B} ve E_{C} dir.
Buna göre, E_{A}, E_{B} ve E_{C}'nin büyüklükleri arasındaki ilişki nedir?
A) E_{A} = E_{B} = E_{C}
B) E_{B} = E_{C} > E_{A}
C) E_{A} > E_{B} = E_{C}
D) E_{C} > E_{B} > E_{A}
E) E_{A} > E_{B} > E_{C}
Noktasal Işık Kaynağının A, B ve C Noktalarındaki Aydınlanma Şiddetlerinin Karşılaştırılması
KULLANILAN FORMÜL:
Noktasal bir ışık kaynağının bir yüzey üzerindeki noktada oluşturduğu aydınlanma şiddeti:
E = \frac{I}{d^2} \cdot \cos\alpha
- I: Işık kaynağının şiddeti
- d: Kaynağın noktaya olan uzaklığı
- \alpha: Işık ışınının yüzeyin normali ile yaptığı açı
- \cos\alpha = \frac{d_{\text{dik}}}{d} (Burada d_{\text{dik}}, kaynağın yüzeye olan dik uzaklığıdır)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Her bir kare bölmenin kenar uzunluğunu 1\text{ birim} kabul edelim. Işık kaynağının bulunduğu konumu referans (0, 0) alarak noktaların uzaklıklarını ve dik bileşenlerini belirleyelim:
Adım 1 — A Noktasındaki Aydınlanma Şiddetini (E_A) Hesaplama
- A noktası üst yatay yüzeydedir (yüzey normali düşey doğrultudadır).
- Kaynağa göre konumu: 2\text{ birim} sol, 2\text{ birim} yukarı.
- Uzaklık: d_A = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8}\text{ birim} (d_A^2 = 8)
- Yüzey normali düşey olduğu için: \cos\alpha_A = \frac{2}{\sqrt{8}}
- Aydınlanma şiddeti:
E_A = \frac{I}{8} \cdot \frac{2}{\sqrt{8}} = \frac{2I}{8\sqrt{8}} = \frac{I}{4\sqrt{8}} = \frac{I}{\sqrt{128}}
Adım 2 — B Noktasındaki Aydınlanma Şiddetini (E_B) Hesaplama
- B noktası sağ düşey yüzeydedir (yüzey normali yatay doğrultudadır).
- Kaynağa göre konumu: 3\text{ birim} sağ, 2\text{ birim} aşağı.
- Uzaklık: d_B = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}\text{ birim} (d_B^2 = 13)
- Yüzey normali yatay olduğu için: \cos\alpha_B = \frac{3}{\sqrt{13}}
- Aydınlanma şiddeti:
E_B = \frac{I}{13} \cdot \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{3I}{13\sqrt{13}} = \frac{3I}{\sqrt{2197}} = \frac{I}{\sqrt{\frac{2197}{9}}} \approx \frac{I}{\sqrt{244{,}1}}
Adım 3 — C Noktasındaki Aydınlanma Şiddetini (E_C) Hesaplama
- C noktası alt yatay yüzeydedir (yüzey normali düşey doğrultudadır).
- Kaynağa göre konumu: 2\text{ birim} sağ, 3\text{ birim} aşağı.
- Uzaklık: d_C = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}\text{ birim} (d_C^2 = 13)
- Yüzey normali düşey olduğu için: \cos\alpha_C = \frac{3}{\sqrt{13}}
- Aydınlanma şiddeti:
E_C = \frac{I}{13} \cdot \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{3I}{13\sqrt{13}} = \frac{I}{\sqrt{\frac{2197}{9}}} \approx \frac{I}{\sqrt{244{,}1}}
Adım 4 — Değerlerin Karşılaştırılması
- E_B = E_C = \frac{3I}{13\sqrt{13}}
- Paydaları kök içinde kıyasladığımızda \sqrt{128} < \sqrt{244{,}1} olduğundan:
E_A > E_B = E_C
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C şıkkı (E_A > E_B = E_C)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Aydınlanma Şiddeti ve Yüzey Normali
- Tanım: Birim yüzeye dik olarak düşen ışık akısı miktarıdır. Işın yüzeye dik gelmiyorsa, yüzey normali ile yaptığı açının kosinüsü (\cos\alpha) ile çarpılır.
- Bu problemde: A ve C noktaları yatay düzlemde olduğu için düşey uzaklıklar, B noktası düşey düzlemde olduğu için yatay uzaklık dik bileşen (\cos\alpha) hesabında kullanılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Yüzeyin Doğrultusunu Dikkate Almamak
- Yanlış: Bütün noktalar için hep düşey mesafeyi dik bileşen kabul etmek.
- Doğru: Düşey duvardaki noktalarda (B noktası gibi) yüzeyin normali yatay olduğundan, açının kosinüsü için kaynağın yatay uzaklığı alınmalıdır.
- Neden yanlış: Normal, ışığın düştüğü yüzeye daima dik çizilen referans doğrusudur.
Optik ve aydınlanma şiddeti ile ilgili benzer bir soru tipi çözmemi ister misin?
Ben kosinüs Alfa olayını anlamadım
Aydınlanma Şiddetinde Kosinüs (\cos\alpha) Kuralı ve Mantığı
Aydınlanma şiddetindeki kosinüs bileşeni (\cos\alpha), eğik gelen ışınların yüzeye dik gelen etkin kısmını bulmamızı sağlar. Işık ışını bir yüzeye dik düşmediğinde birim alana düşen ışık akısı azalır; bu nedenle kaynağın parlaklığı, ışının yüzey normali ile yaptığı açının kosinüsüyle çarpılarak düzeltilir.
Temel Prensipler:
- Yüzey Normali (N): Işığın düştüğü yüzeye 90^\circ dik olarak çizilen hayali referans doğrusudur.
- Geliş Açısı (\alpha): Işığın yüzeyle değil, daima yüzey normali ile yaptığı açıdır.
- Dik Gelme Durumu (\alpha = 0^\circ): Işın yüzeye tam dik geliyorsa \cos 0^\circ = 1 olur ve maksimum aydınlanma (E = \frac{I}{d^2}) elde edilir.
- Geometrik Pratik Yol: Bir dik üçgende \cos\alpha = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{d_{\text{dik}}}{d} bağıntısı kullanılır.
İçindekiler
- Kosinüs Alfa Nereden Gelir ve Nasıl Hesaplanır?
- Farklı Düzlemlerde Normal Doğrusunun Tespiti
- Özet Tablo
Kosinüs Alfa Nereden Gelir ve Nasıl Hesaplanır?
Bir el fenerini duvara tam karşıdan dik tuttuğunuzda ışık dar ve çok parlak bir daire oluşturur. Feneri eğik tuttuğunuzda ise ışık daha geniş bir alana yayılır ve yüzey daha sönük (daha az aydınlık) görünür. Fizikte aydınlanma şiddeti (E), birim alana düşen ışık miktarını ölçtüğü için ışığın yüzeye dik düşen etkin payını almak zorundayız.
Kareli düzlem sorularında açı değerini trigonometrik cetvel kullanmadan pratik bir dik üçgenle buluruz:
\cos\alpha = \frac{\text{Işık kaynağının yüzeye olan en kısa dik uzaklığı}}{\text{Işık kaynağının noktaya olan doğrudan uzaklığı}} = \frac{d_{\text{dik}}}{d}
Bu bağıntıyı genel formülde yerine yazdığımızda formül doğrudan şuna dönüşür:
E = \frac{I}{d^2} \cdot \cos\alpha = \frac{I}{d^2} \cdot \frac{d_{\text{dik}}}{d} = \frac{I \cdot d_{\text{dik}}}{d^3}
Farklı Düzlemlerde Normal Doğrusunun Tespiti
Önceki soruda noktaların farklı yüzeylerde (tavan, taban, yan duvar) yer alması en kritik noktadır:
- Yatay Yüzeyler (A ve C noktaları): Tavan veya zemin yatay olduğu için bu yüzeylerin normali düşey çizgidir. Dolayısıyla dik uzaklık olarak kaynağın noktaya olan düşey uzaklığı alınır.
- Düşey Yüzeyler (B noktası): Yan duvar düşey olduğu için bu yüzeyin normali yatay çizgidir. Dolayısıyla dik uzaklık olarak kaynağın duvara olan yatay uzaklığı alınır.
Özet Tablo
| Durum | Yüzey Konumu | Normal Doğrultusu | \cos\alpha İçin Alınan Dik Kenar |
|---|---|---|---|
| A Noktası | Üst Yatay Yüzey (Tavan) | Düşey | Düşey mesafe (2\text{ birim}) |
| B Noktası | Sağ Düşey Yüzey (Duvar) | Yatay | Yatay mesafe (3\text{ birim}) |
| C Noktası | Alt Yatay Yüzey (Taban) | Düşey | Düşey mesafe (3\text{ birim}) |
Bu dik üçgen bağıntısının ve normal çiziminin mantığını pekiştirmek için sadece \cos\alpha hesabını içeren mini bir pratik çizim örneği yapalım mı?