2 kg kütleli bir cisim 50 cm uzunluğundaki ipe bağlanarak O noktası etrafında w=2 rad/s açısal hızla çembersel hareket yaptırılıyor. Buna göre cismin eylemsizlik momenti kaç kg dotm^2 dir?
Eşit bölmeli düzlemdeki K ve L cisimlerinin çizgisel momentumları P_{K} ve P_{L} dir. Buna göre cisimlerin O noktasına göre açısal momentumlarının büyüklükleri oranı \frac{L_{K}}{L_{L}} kaçtır?
Eylemsizlik Momenti ve Açısal Momentum Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Noktasal bir cismin dönme eksenine göre eylemsizlik momenti I = m \cdot r^2 bağıntısıyla bulunur (açısal hızdan bağımsızdır). Bir noktasal momentum vektörünün bir referans noktasına göre açısal momentumu ise \vec{L} = \vec{r} \times \vec{P} vektörel çarpımı veya bileşenler yöntemiyle L = |x \cdot P_y - y \cdot P_x| bağıntısıyla hesaplanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
7. Soru — Eylemsizlik Momentinin Hesaplanması
Adım 1 — Değerlerin SI Birim Sistemine Dönüştürülmesi
Cismin kütlesi m = 2\text{ kg}, ipin uzunluğu (dönme yarıçapı) r = 50\text{ cm} = 0{,}5\text{ m}'dir. Açısal hız (\omega = 2\text{ rad/s}) soruda çeldirici olarak verilmiştir, eylemsizlik momenti formülünde yer almaz.
Adım 2 — Eylemsizlik Momentinin Hesabı
I = m \cdot r^2 = 2 \cdot (0{,}5)^2 = 2 \cdot 0{,}25 = 0{,}5\text{ kg}\cdot\text{m}^2
8. Soru — Açısal Momentumların Büyüklükleri Oranı (\frac{L_K}{L_L})
Karelerin her bir kenar uzunluğunu 1\text{ birim} ve momentum birimini 1\text{ P} kabul edelim. O noktasını orijin (0, 0) seçerek cisimlerin konum vektörlerini ve çizgisel momentum bileşenlerini belirleyelim:
Adım 1 — K Cisminin Açısal Momentumu (L_K)
- K cisminin başlangıç noktasının O’ya göre konumu: \vec{r}_K = (0, 1)
- Çizgisel momentum bileşenleri: \vec{P}_K = (2, 1)
L_K = |x_K \cdot P_{Ky} - y_K \cdot P_{Kx}| = |0 \cdot 1 - 1 \cdot 2| = 2\text{ birim}
Adım 2 — L Cisminin Açısal Momentumu (L_L)
- L cisminin başlangıç noktasının O’ya göre konumu: \vec{r}_L = (2, 0)
- Çizgisel momentum bileşenleri: \vec{P}_L = (-1, -1)
L_L = |x_L \cdot P_{Ly} - y_L \cdot P_{Lx}| = |2 \cdot (-1) - 0 \cdot (-1)| = |-2| = 2\text{ birim}
Adım 3 — Oranın Bulunması
\frac{L_K}{L_L} = \frac{2}{2} = 1
CEVAP:
- 7. Soru: 0{,}5\text{ kg}\cdot\text{m}^2
- 8. Soru: 1 \left(\frac{L_K}{L_L} = 1\right)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Eylemsizlik momenti (I), cismin geometrisine ve dönme eksenine olan uzaklığına bağlı skaler bir büyüklüktür; açısal hızdan (\omega) etkilenmez. Düzlemdeki açısal momentum sorularında ise tork mantığı gibi momentum doğrultusunun O noktasına olan dik uzaklığını (L = P \cdot d) kullanmak veya dik bileşenlerine ayırmak pratik bir çözüm sağlar.